９０°＋θの三角比の公式の証明
θが０°≦θ≦９０°のとき、次の公式が成り立ちます。
これらの公式を証明していきましょう。
証明
まず、次の図を用意します。
この図がどこから出てくるのかといわれると困るのですが、そういうものだと思って記憶してください。
△OACと△OBDは合同な三角形で、"∠AOC＝∠BOD＝θ"とします。
このとき、"∠BOC＝９０°＋θ"と表すことができますが、説明をしやすくするために、"９０°＋θ＝θ'"とします。
また、△OACと△OBDが合同であることから、点Aの座標をA(x,y)とすると、点Bの座標はB(−y,x)となることも頭にいれておきましょう。
■sin(９０°＋θ)
∠BOC(θ')に着目したときに
sinθ'＝x
また、∠AOC(θ)に着目したときに
cosθ＝x
このことから、
sinθ'＝cosθ
"９０°＋θ＝θ'"なので
sin(９０°＋θ)＝cosθ
が求まります。
■cos(９０°＋θ)
∠BOC(θ')に着目したときに
cosθ'＝−y
また、∠AOC(θ)に着目したときに
sinθ＝y
このことから、
cosθ'＝−sinθ
"９０°＋θ＝θ'"なので
cos(９０°＋θ)＝−sinθ
が求まります。
■tan(９０°＋θ)
∠BOC(θ')に着目したときに
また、∠AOC(θ)に着目したときに
このことから
以上のことから、９０°＋θの三角比の３つの公式が証明できました。
