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導関数を用いた不等式の証明
不等式の証明 導関数を用いて、x \leq 0 のとき、 x^{3} \leq 6x^{2}-9x が成り立つことを証明してみましょう。 考え方 f(x)=x^{3} \leq 6x^{2}-9...
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チェバの定理の証明
チェバの定理とは チェバの定理とは、図のように△ABCがあったとしましょう。 △ABCの内部もしくは外部に点Oをとったとき、AからOを通る直線とBCとの交点をP、同様に点Qと点Rを定めます。この...
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絶対値を含む不等式
絶対値を含む不等式 絶対値は、その性質から |a| ^{2} =a ^{2} |a| |b|=|ab| |ab| ^{2} = \left(|a| |b|\right) ^{2} | \frac...
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方程式 解と係数の関係
はじめに ax^{2}+bx+c=oという方程式があります。 この方程式の解を \alpha、 \betaとしたときに次の法則が成り立ちます。 \alpha +\beta =-\frac{b}{...
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数学的帰納法の基本的な考え方②
前回は数学的帰納法という証明方法について説明をしましたね。 数学的帰納法の基本的な考え方① 今回はその続きです。 すべての自然数nについて、 \sum_{k=1}^{n} k \left(k+1...
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「ax²+bx+c=a'x²+b'x+c'が恒等式のときa=a',b=b',c=c'」を使った問題
恒等式 前回は ax ^{2} +bx+c=0 がxについての恒等式である場合、 a=b=c=0 であることを証明しました。 今回はその続きです。 恒等式における決め事 ax ^{2} +bx+...
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平方根を含む不等式
平方根を含む不等式 a>0、b>0であるとき、a>bであれば a^{2}>b^{2} であることはご存知のとおりです。 また逆にこの条件下であれば a^{2}>b^{2} のときa>b であ...
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相似な図形における表面積比と体積比
相似な図形の面積比と体積比 相似な図形の場合、表面積比と体積比には相関関係があります。 具体的に言うと以下のようなものです。 相似比がk:1である立体の場合、表面積比は k^{2}:1であり、体...
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鋭角のときの、三角比の公式の証明
三角比の公式 (0°<α< 90°) 上のような三角形があるときに 【1】 \tan \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } 【2】 \sin ^{...
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不等式の証明
不等式の証明 等式a=bを証明するためには、a-b=0 であることを示せばよかったですね。不等式でも同じように、 a>bを証明するためには、a-b>0であることを示せばよいのです。 この考えを利...
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