加法定理を使った９０°＋θの三角比の公式の証明
θが０°≦θ≦９０°のとき、次の公式が成り立ちます。
これらの公式を、
加法定理を使って証明していきましょう。加法定理は数学Ⅱで学習する範囲なので、数学Ⅰしか学習していない人は、こういう解き方もあるのかと思うぐらいで大丈夫です。
図を用いた証明はこちらから。
９０°＋θの三角比[公式の証明]
証明
■sin(９０°＋θ)
正弦の加法定理
"sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ"より
sin(90°＋θ)＝sin90°cosθ＋cos90°sinθ
"sin90°＝１"，"cos90°＝０"より
sin(90°＋θ)＝sin90°cosθ＋cos90°sinθ＝cosθ
よって"sin(９０°＋θ)＝cosθ"が成り立つことが証明されました。
■cos(９０°＋θ)
余弦の加法定理
"cos(α＋β)＝cosαcosβ−sinαsinβ"より
cos(90°＋θ)＝cos90°cosθ−sin90°sinθ
"sin90°＝１"，"cos90°＝０"より
cos(90°＋θ)＝cos90°cosθ−sin90°sinθ＝−sinθ
よって"cos(90°＋θ)＝−sinθ"が成り立つことが証明されました。
■tan(９０°＋θ)
正接の加法定理
 = \frac{ \tan \alpha \tan \beta }{1- \tan \alpha \tan \beta } )
を使って
 = \frac{ \tan 90 ^{ \circ } \tan \theta }{1- \tan 90 ^{ \circ } \tan \theta } )
としたいところですが、tan90°という値は存在しないので、この計算式を解くことはできません。よって加法定理を使って"tan(９０°＋θ)"の公式の証明はできないことになります。
