マナペディアトップ > 高校 > 数学I > 図形と計量 > 三角比(座標/半円を用いた三角比) > 三角比の公式 90°<θ<180°の場合

三角比の公式 90°<θ<180°の場合

著者名： OKボーイ

９０°<θ<１８０°における三角比の公式の証明

０°＜θ＜９０°において
$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha = 1$
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$
$1+\tan ^{2}\alpha =\frac{1}{\cos ^{2}\alpha }$

であることは以前学習しましたね。ではこれらの公式が９０°<θ<１８０°では当てはまるのかどうかを検証してみたいと思います。
まず、次のような図を用意します。

円の半径は１で点Ｐは第２象限にあります。
このときＯＡ＝ｘ、ＰＡ＝ｙ、ＯＰ＝１(円の半径なので)ですね。

$\sin \theta = \frac{PA}{OP} =y$ 　…①
$\cos \theta = \frac{OA}{OP} =x$ 　…②
$\tan \theta = \frac{PA}{OA} = \frac{y}{x}$ 　…③

また△ＯＰＡにおいて三平方の定理より
$OA ^{2} +PA ^{2} =OP ^{2}$
$x ^{2} +y ^{2} =1 ^{}$ 　…④

グラフからこれらのことがわかります。
まず①、②、④を使って
$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha = 1$ 　が証明できます。

続いて
①、②、③より
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ 　が証明できます。

そして最後に
$1+ \tan ^{2} \theta =1+ \left( \frac{y}{x} \right) ^{2} = \frac{x ^{2} +y ^{2} }{x ^{2} }$
x ^{2} +y ^{2} =1]　なので
$\frac{x ^{2} +y ^{2} }{x ^{2} } = \frac{1}{x ^{2} }$

②より、
$1+\tan ^{2}\alpha =\frac{1}{\cos ^{2}\alpha }$ 　が成り立ちます。

以上のことから、
９０°<θ<１８０°であっても三角比の定理は成り立つことがわかりましたね。

・９０°＋θの三角比[加法定理を用いた公式の証明]

・９０°＋θの三角比[公式の証明]

・１８０°−Aの三角比の公式と計算問題[鈍角三角形]

・方程式と三角比のなす関係

・"９０°＋θ"の三角比を用いた計算問題

sin, cos, tan, 三角比, 三角比の定理, サイン, コサイン, タンジェント,

『教科書　数学Ⅰ』　数研出版

この科目でよく読まれている関連書籍

このテキストを評価してください。

マイリストに追加

テキストの詳細

閲覧数	26,321 pt
役に立った数	9 pt
う〜ん数	13 pt
マイリスト数	27 pt

知りたいことを検索！

まとめ

三角比の公式（０°＜θ＜９０°と９０°＜θ＜１８０°の２通り）

デイリーランキング

	古文単語「ものうらやみ/物羨み」の意味・解説【名詞】
	趙とは　わかりやすい世界史用語325
	be動詞と一般動詞の特徴とその違い・使うタイミング
4	英語　現在完了形（完了・経験・継続）と過去形の違い
5	シンド地方とは　わかりやすい世界史用語247
6	複素数の計算[複素数の簡単な加法と減法]
7	英語の否定形のまとめ
8	『飽かなくにまだきも月の隠るるか山の端逃げて入れずもあらなむ』わかりやすい現代語訳と解説・品詞分解
9	【占領初期の社会と政治、傾斜生産方式、片山内閣、芦田内閣】受験日本史まとめ 82
10	日本銀行が行うおもな金融政策