３次方程式の異なる実数解
関数の増減表やグラフを使って、方程式の実数解の個数を調べることができます。
例えば、数学１でやった２次方程式
x²−４x＋３＝０
の実数解の個数を求めてみます。
判別式を用いて、
D＝(−４)²−４・３＝１６−１２＝４＞０
なのでこの方程式の実数解は２個ともできますし、次のように"f(x)＝x²−４x＋３"のグラフを書いて
グラフとx軸の交点が２つなので、方程式"x²−４x＋３＝０"の実数解は２つとすることもできましたね。
ここで注目したいのは、
グラフを書いてx軸との交点の数を調べる方法です。
３次方程式の実数解の個数を調べるためには、与えられた方程式を"f(x)＝○○○"としてグラフを書き、x軸との交点の数をチェックします。
問題
次の方程式の、異なる実数解の数を調べなさい。
"x³−３x²＋３＝０"
ステップ１：グラフを書く
まずは"f(x)＝x³−３x²＋３"としてグラフを書いていきましょう。
f'(x)＝３x²−６x＝３x(x−２)
より、増減表は次のようになります。
これよりグラフは
以上から"f(x)＝x³−３x²＋３"のグラフは、x軸と異なる３つの点で交わることがわかりました。このことから、３次方程式"x³−３x²＋３＝０"の異なる実数解の数は３つといえます。
３次方程式の実数解の個数が調べられるようになったら、今度は
４次方程式の異なる実数解の数を求める問題にチャレンジしてみましょう。
また、３次関数のグラフの書き方がわからない場合は、
・増減表の書き方
・増減表を使った３次関数のグラフの書き方
をみて復習しておきましょう。
