３次方程式の異なる実数解の個数
aは定数とする。
"x³−３x²−a＝０"の異なる実数解の個数を調べなさい。
３次方程式の異なる実数解の数を求める問題をレベルアップした問題ですが、試験には圧倒的にこちらが出るので、おさえておかなければならない問題です。
「方程式に文字が入っているのにどうやって実数解の個数を調べるの？」と思うかもしれませんが、このタイプの問題は解き方が決まっているので、その解き方にそっていけば、ばっちり解けるようになるので安心してください。
解法
ステップ１：文字を切り離す
与えられた式は"x³−３x²−a＝０"なので、
左辺から文字だけ、右辺に移行します。
"
x³−３x²＝a"
ステップ２：グラフを書く
次に、とりあえず右辺の"a"のことは忘れて、
"f(x)＝x³−３x²"としてグラフを書きます。ここ、超重要です。
f'(x)＝３x²−６x＝３x(x−２)
より増減表は次のようになります。
増減表より、グラフは
ステップ３：文字について考える
"x³−３x²＝a"の"x³−３x²"の部分のグラフを作成したので、次は右辺の"a"について考えていきます。
"y＝a"として、作成したグラフにかぶせていく
※ここが今回のテキストで一番重要なポイントです。
どうするかというと、例えば"y＝−１"のグラフを、作成したグラフにかぶせてみましょう。
このとき"f(x)＝x³−３x²"のグラフと"y＝−１"のグラフは３つの点で交わっています。実は
この交点の数こそが、求める実数解の個数そのものなのです。
つまり、「y＝−１のとき、"x³−３x²−a＝０"の異なる実数解の個数は３個」となります。では"y＝１"のときはどうでしょうか。
このとき交点は１つなので、"x³−３x²−a＝０"の異なる実数解の個数は１個です。このようにして考えていくと、次のことがわかります。わかりやすいように、交点の数が変化する点を赤線で引いてあります。
○y＞０またはy＜−４のとき、すなわちa＞０またはa＜−４のとき、交点の数は１個
○y＝０またはy＝−４のとき、すなわちa＝０またはa＝−４のとき、交点の数は２個
○−４＜y＜０のとき、すなわち−４＜a＜０のとき、交点の数は３個
文字を含む３次方程式の実数解が理解できたら、今度は
文字を含む４次方程式の実数解の個数の求める問題にチャレンジしてみましょう。
