３次不等式の証明
ここでは、次のような３次不等式を証明する問題をみていきます。
x≧０のとき、次の不等式が成り立つことを証明しなさい。
x³＋２≧３x
「またややこしい問題が」と思われるかもしれませんが、次のことを覚えておきましょう。
不等式の証明は、グラフがかければ９０％はできたも同然！
どういうことかみていきましょう。
解説
"x³＋２≧３x"を変形すると、"x³−３x＋２≧０"となります。つまりこの問題は、「
x≧０の範囲で"x³−３x＋２≧０"が常に成り立つか証明しなさい」と同じ意味であるということです。
この証明をするには、"f(x)＝x³−３x＋２"のグラフがx≧０の範囲で常に"f(x)≧０"となるかを確認すればOKということになります。
グラフを書く
では早速、"f(x)＝x³−３x＋２"のグラフを書いてみましょう。
f'(x)＝３x²−３＝３(x²−１)＝３(x＋１)(x−１)
なので、増減表は次のようになります。
グラフを作成し、x≧０の範囲を赤線でひいたのが次の図になります。
グラフから、x≧０における最小値は"０"(x＝１のとき)なので、このグラフはx≧０ではつねに、"f(x)≧０"であることがわかります。
このことから、x≧０のとき"x³−３x＋２≧０"つまり"x³＋２≧３x"が成り立つことが証明されました。
いかがでしたか。
グラフが書ければ一発で求めることができますね。
