４次方程式の異なる実数解の個数
aは定数とする。
"３x⁴−４x³−１２x²＋６x＋２＝６x＋a"の異なる実数解の個数を調べなさい。
文字があるときの３次方程式の実数解の個数の求め方が解けたら、今度は、文字を含む４次方程式の実数解の個数を求める問題にチャレンジしてみましょう。
解き方は３次方程式のときと同じなので、不安な人は、３次方程式の問題が解けるようになってからチャレンジしてください。
ステップ１
"３x⁴−４x³−１２x²＋６x＋２＝６x＋a"を変形します。
３x⁴−４x³−１２x²＋６x−６x＋２＝a
３x⁴−４x³−１２x²＋２＝a
ステップ２
右辺のaのことはとりあえずおいておいて、
f(x)＝３x⁴−４x³−１２x²＋２
としてグラフを書きます。
f'(x)
＝１２x³−１２x²−２４x
＝１２x(x²ーx−２)
＝１２(x−２)(x＋１)
なので、増減表は次のようになります。
増減表よりグラフは
ステップ３
続いて右辺"a"について考えていきます。
"y＝a"として、作成したグラフにかぶせるんでしたね。
グラフをみると
２＞aまたは−３０＜a＜−３のときに、交点が２こ
a＝２、−３、−３０のときに、交点が３こ
−３<a<２のときに、交点が４こ
a＜−３０のときに、交点が０こ
ということがわかります。この
交点の数が、そのまま方程式の実数解の個数になるんでしたね。
以上から、方程式"３x⁴−４x³−１２x²＋６x＋２＝６x＋a"の実数解の数は、
・２＞aまたは−３０＜a＜−３のときに、２こ
・a＝２、−３、−３０のときに、３こ
・−３<a<２のときに、４こ
・a＜−３０のときに、０こ
となります。
