定積分の公式の証明
ここでは、定積分の公式の１つである
の証明を行います。
証明
f(x)を積分した式の１つをF(x)、g(x)を積分した式の１つをG(x)とします。 このときf(x)とF(x)、g(x)とG(x)の関係は、
F'(x)＝f(x)
G'(x)＝g(x)
です。このとき、"{F(x)−G(x)}"を微分すると、
"
{F(x)−G(x)}'＝F'(x)−G'(x)"
となることは、
導関数の公式で学習した通りです。これをさらに計算すると、
"
{F(x)−G(x)}'＝F'(x)−G'(x)＝f(x)−g(x)"
"{f(x)−g(x)}"をaからbの範囲で積分したと考えると
-g(x)\right} dx)
-G(x)\right]_{a}^{b})
 - G(b) - F(a) %2B G(a))
ー①
一方で、f(x)をaからbの範囲で積分すると、
dx= \left[F(x)\right]_{a}^{b} =F(b) - F(a))
ー②
また、g(x)をaからbの範囲で積分すると、
dx= \left[G(x)\right]_{a}^{b} =G(b) - G(a))
ー③
②−③より
dx - \int_{a}^{b} f(x)dx =F(b) - G(b) - F(a) %2B G(a) )
ー④
①と④より
-g(x)\right} dx = \int_{a}^{b} f(x)dx - \int_{a}^{b} f(x)dx )
が成り立つことがわかります。
