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指数関数と対数関数 / 指数と指数関数

累乗根の公式の証明"ᵐ√ⁿ√a＝ᵐⁿ√a"

著者名：ふぇるまー

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累乗根の公式の証明

ここでは、累乗根の公式の中の次の公式を証明します。

a＞０、b＞０で、mとnが正の数のとき
$\sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} }$ $=$ $\sqrt[mn]{a}$
の証明

まず、
$\sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} }$ $=x$ 　－①

とおいて、両辺をｍ乗します。

$\left( \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} } \right) ^{m}$ $=x ^{m}$

このとき左辺は、

$\left( \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} } \right) ^{m}$ $=\sqrt[n]{a}$

となるので、

$\sqrt[n]{a} =x ^{m}$ 　－②

計算がややこしいですね。わからない人は

$\sqrt[n]{a}$ $=A$

とおきかえて計算してみましょう。これにより

$\left( \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} } \right) ^{m} = \left( \sqrt[m]{A} \right) ^{m}$

なので、

$\left( \sqrt[m]{A} \right) ^{m}$ $=A$ $= \sqrt[n]{a}$ $=x ^{m}$

さらに②の両辺をｎ乗します。

$\left( \sqrt[n]{a} \right) ^{n} = \left(x ^{m} \right) ^{n}$

ここで右辺に、指数法則の"(ab)ⁿ＝aⁿbⁿ"を用います。すると

$a=x ^{mn}$

条件よりa＞０、ｘ＞０なので

$x= \sqrt[mn]{a}$ 　－③

ここの計算がわからない人は、
"ｍｎ＝ｐ"として考えてみましょう。

$a=x ^{p}$

$x= \sqrt[p]{a} = \sqrt[mn]{a}$

と計算できますよね。

①、③より

$\sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} } =x= \sqrt[mn]{a}$

が成り立つことがわかります。

・累乗根の公式の証明"(ⁿ√a)ᵐ＝ⁿ√aᵐ"

・累乗根の公式の証明"ᵐ√ⁿ√a＝ᵐⁿ√a"

・累乗根の公式の証明"ⁿᴾ√aᵐᴾ＝ⁿ√aᵐ"

・基本[指数関数を含んだ不等式の計算]

・有理数の指数[累乗根の公式の証明]

・指数関数を勉強する前に指数法則

・応用[指数関数を含んだ不等式の計算]

・累乗根の公式の証明"ⁿ√a ÷ ⁿ√b＝ⁿ√a/b"

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2013　数学Ⅱ　数研出版

2013　数学Ⅱ　東京書籍

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