マナペディアトップ > 高校 > 数学II > 指数関数と対数関数 > 指数と指数関数 > 累乗根の公式の証明"ᵐ√ⁿ√a＝ᵐⁿ√a"

指数関数と対数関数 / 指数と指数関数

累乗根の公式の証明"ᵐ√ⁿ√a＝ᵐⁿ√a"

著者名：ふぇるまー

マイリストに追加

累乗根の公式の証明

ここでは、累乗根の公式の中の次の公式を証明します。

a＞０、b＞０で、mとnが正の数のとき
$\sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} }$ $=$ $\sqrt[mn]{a}$
の証明

まず、
$\sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} }$ $=x$ 　－①

とおいて、両辺をｍ乗します。

$\left( \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} } \right) ^{m}$ $=x ^{m}$

このとき左辺は、

$\left( \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} } \right) ^{m}$ $=\sqrt[n]{a}$

となるので、

$\sqrt[n]{a} =x ^{m}$ 　－②

計算がややこしいですね。わからない人は

$\sqrt[n]{a}$ $=A$

とおきかえて計算してみましょう。これにより

$\left( \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} } \right) ^{m} = \left( \sqrt[m]{A} \right) ^{m}$

なので、

$\left( \sqrt[m]{A} \right) ^{m}$ $=A$ $= \sqrt[n]{a}$ $=x ^{m}$

さらに②の両辺をｎ乗します。

$\left( \sqrt[n]{a} \right) ^{n} = \left(x ^{m} \right) ^{n}$

ここで右辺に、指数法則の"(ab)ⁿ＝aⁿbⁿ"を用います。すると

$a=x ^{mn}$

条件よりa＞０、ｘ＞０なので

$x= \sqrt[mn]{a}$ 　－③

ここの計算がわからない人は、
"ｍｎ＝ｐ"として考えてみましょう。

$a=x ^{p}$

$x= \sqrt[p]{a} = \sqrt[mn]{a}$

と計算できますよね。

①、③より

$\sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} } =x= \sqrt[mn]{a}$

が成り立つことがわかります。

・累乗根の公式の証明"(ⁿ√a)ᵐ＝ⁿ√aᵐ"

・累乗根の公式の証明"ᵐ√ⁿ√a＝ᵐⁿ√a"

・累乗根の公式の証明"ⁿᴾ√aᵐᴾ＝ⁿ√aᵐ"

・基本[指数関数を含んだ方程式の計算]

・指数関数y＝aˣのグラフの平行移動

・応用[指数関数を含んだ方程式の計算]

・指数の計算

・絶対におさえておきましょう！指数の計算法則の復習

証明, 公式, 累乗根, 累乗根の公式の証明,

2013　数学Ⅱ　数研出版

2013　数学Ⅱ　東京書籍

この科目でよく読まれている関連書籍

このテキストを評価してください。

マイリストに追加

テキストの詳細

閲覧数	16,303 pt
役に立った数	38 pt
う〜ん数	10 pt
マイリスト数	0 pt

知りたいことを検索！

まとめ

指数関数はこの順番で読む

デイリーランキング

	『鴻門之会・剣の舞』(沛公旦日従百余騎〜)わかりやすい現代語訳・書き下し文と解説
	源氏物語『桐壷・光源氏の誕生（いづれの御時にか〜）』の現代語訳・解説
	『鴻門之会・樊噲、頭髪上指す』(於是張良至軍門、見樊噲〜)わかりやすい現代語訳・書き下し文と解説
4	伊勢物語『芥川・白玉か』(昔、男ありけり。女のえ得まじかりけるを〜) わかりやすい現代語訳と解説
5	伊勢物語『東下り・三河』(昔、男ありけり〜)のわかりやすい現代語訳と解説
6	大鏡『花山院の出家』(あはれなることは〜)のわかりやすい現代語訳
7	源氏物語「若紫・北山の垣間見・若紫との出会い（日もいと長きにつれづれなれば〜）」の現代語訳・解説
8	伊勢物語『東下り・駿河国』(行き行きて、駿河の国に〜)のわかりやすい現代語訳と解説
9	源氏物語『桐壷・光源氏の誕生（前の世にも御契りや〜）』の現代語訳・解説
10	更級日記『門出・東路の道の果て』(東路の道の果てよりも〜)わかりやすい現代語訳と解説