累乗根の公式の証明"ⁿᴾ√aᵐᴾ＝ⁿ√aᵐ"

著者名：ふぇるまー

累乗根の公式の証明

ここでは、累乗根の公式の中から、次の公式を証明します。

問題

a＞０、b＞０で、m、n、pが正の数のとき、以下の式を証明せよ。

証明

まず、

とおきます。このときa＞０であることから、ｘ＞０となります。

■両辺をｎ乗

①の両辺をｎ乗します。

ａᵐ＝ｘⁿ　－②

■両辺をｐ乗

次に、②式の両辺をｐ乗します。

（ａᵐ）ᵖ＝（ｘⁿ）ᵖ

ここで両辺に、指数法則の

（ａᵐ）ⁿ＝ａᵐⁿ

を用います。すると

ａᵐᵖ＝ｘⁿᵖ　－③

条件より、ａᵐᵖ＞０、ｘ＞０なので

■まとめ

①、④より

が成り立つことがわかります。
証明おわり。

・累乗根の公式の証明"ⁿᴾ√aᵐᴾ＝ⁿ√aᵐ"

2013　数学Ⅱ　数研出版

2013　数学Ⅱ　東京書籍

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