有理数の指数[累乗根の公式の証明]

著者名：ふぇるまー

マイリストに追加

指数の拡張

ここでは、次の２つの累乗根の公式を導いていきます。

＜証明１＞
a＞０でmとnが正の整数のとき
$a ^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{a ^{m} }$
の証明

＜証明２＞
a＞０でmとnが正の整数のとき
$a ^{- \frac{m}{n} } = \frac{1}{ \sqrt[n]{a ^{m} } }$
の証明

証明１

指数法則の１つである

$\left(a ^{m} \right) ^{n} =a ^{mn}$

に、m＝２/３、n＝３を代入してみます。

$\left(a ^{ \frac{2}{3} } \right) ^{3} =a ^{ \frac{2}{3} \times 3} =a ^{2}$

これは、

$\left( \sqrt[3]{a ^{2} } \right) ^{3} =a ^{2}$

の計算と同じと考えることができます。
このことから、

$a ^{ \frac{2}{3} } = \sqrt[3]{a ^{2} }$

つまり、

$a ^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{a ^{m} }$

を導くことができます。

証明２

指数法則の１つである

$a ^{-n} = \frac{1}{a ^{n} }$

に、n＝−２/３を代入すると

$a ^{- \frac{2}{3} } = \frac{1}{a ^{ \frac{2}{3} } }$

証明１より、

$a ^{- \frac{2}{3} } = \frac{1}{a ^{ \frac{2}{3} } } = \frac{1}{ \sqrt[2]{a ^{3} } }$

以上から、

$a ^{- \frac{m}{n} } = \frac{1}{ \sqrt[n]{a ^{m} } }$

を導くことができます。

・指数関数のグラフの特徴

・基本[指数関数を含んだ方程式の計算]

・累乗根の公式の証明"ⁿ√a ÷ ⁿ√b＝ⁿ√a/b"

・累乗根の公式

・指数関数を含んだ不等式を解く前にまず読む

証明, 公式, 指数, 累乗根, 指数法則,

2013　数学Ⅱ　数研出版

2013　数学Ⅱ　東京書籍

この科目でよく読まれている関連書籍

このテキストを評価してください。

マイリストに追加

テキストの詳細

閲覧数	13,727 pt
役に立った数	7 pt
う〜ん数	5 pt
マイリスト数	0 pt

知りたいことを検索！

まとめ

指数関数はこの順番で読む

デイリーランキング

	源氏物語「若紫・北山の垣間見・若紫との出会い（日もいと長きにつれづれなれば〜）」の現代語訳・解説
	源氏物語『桐壷・光源氏の誕生（いづれの御時にか〜）』の現代語訳・解説
	『鴻門之会・剣の舞』(沛公旦日従百余騎〜)わかりやすい現代語訳・書き下し文と解説
4	史記『四面楚歌』(項王軍壁垓下〜)わかりやすい現代語訳・書き下し文と解説
5	『鴻門之会・樊噲、頭髪上指す』(於是張良至軍門、見樊噲〜)わかりやすい現代語訳・書き下し文と解説
6	源氏物語『桐壷・光源氏の誕生（前の世にも御契りや〜）』の現代語訳・解説
7	源氏物語「若紫・北山の垣間見・若紫との出会い（尼君、髪をかきなでつつ〜）」の現代語訳と解説
8	大鏡『競べ弓・南院の競射・道長と伊周・弓争ひ（帥殿の、南院にて〜）』の現代語訳と解説
9	『鶏鳴狗盗』書き下し文・わかりやすい現代語訳（口語訳）と文法解説
10	源氏物語「若紫・北山の垣間見・若紫との出会い（尼君、「いで、あな幼や〜）」の現代語訳と解説