垂心の証明
２直線が垂直に交わるときの条件を用いて、垂心の証明をしてみましょう。
図のように、座標上にある三角形ABCの頂点から各辺に垂線をおろし、辺との交点をそれぞれP、Q、Rとします。このときAP、BQ、CRが１点で交わることを証明しなさい。
つまり、△ABCの垂心を証明しなさいということですね。
証明
※わかりやすくするために、AからBCにおろした垂線が、y軸とかぶるような三角形をモデルに作図してあります。
A、B、Cの座標をそれぞれA(０，a)、B(b，０)、C(c，０)とします。
(a≠０、b≠０、c≠０)
■ABとRCに着目
ABの傾きは、
ここでRCの傾きをm₁としたとき、ABとRCは
垂直に交わることから、
またRCは点C(c，０)を通るので、傾きとあわせて、直線の方程式を求めます。
 = \frac{b}{a} x- \frac{bc}{a} )
■CAとBQに着目
CAの傾きは、
ー①
ここでBQの傾きをm₂としたとき、CAとBQは
垂直に交わることから、
またRCは点B(b，０)を通るので、傾きとあわせて、直線の方程式を求めます。
 = \frac{c}{a} x- \frac{bc}{a} )
−②
①と②より、RCとBQは
を
切片とする直線であることがわかりました。つまりこの点で①と②は交わることになります。そしてこの点はもちろんy軸上の点なので、APもまたこの点を通ります。
以上から、AP、BQ、CRが１点で交わることが証明できました。
