点と直線の距離を求める公式
まず「点と直線の距離」ときいて、何を思い浮かべますか？
図のような点Pと直線lの距離を求める方法についてみていきましょう。
図のように、直線l："ax＋by＋c＝０"上にない点P(x₁，y₁)をとります。点Pから直線lに垂線をおろし、その交点をQ(x₂，y₂)とします。
点Pと直線lの距離とは、基本的にこのPQの距離のことを指すので覚えておきましょう。
これには公式があるので、まずはそれを紹介します。
点P(x₁，y₁)と直線l："ax＋by＋c＝０"の距離をdとしたとき
ではこの公式を証明しましょう。
公式の証明
■PQとlは垂直に交わる
PQと直線lは垂直に交わることから、
２つの直線が垂直に交わるための条件より、
２直線の傾きの積が"−１"であることに注目をします。
■PQの傾き
PQの傾きは、
傾きを求める公式より
■lの傾き
lの傾きは"ax＋by＋c＝０"を変形して求めます。
■垂直に交わる直線の傾きの積は−１
２つの直線が垂直に交わるための条件より、
これを変形すると
計算をしやすくするために
とおきます。すると
x₂−x₁＝am ー①
y₂−y₁＝bm ー②
と表すことができますね。
■Qは直線l上の点
次に、点Q(x₂，y₂)は直線l："ax＋by＋c＝０"上の点であることから
"ax₂＋by₂＋c＝０" ー③
が成り立ちます。
先ほどの①と②を変形させると
"x₂＝am＋x₁"
"y₂＝bm＋y₁"
となるので、これらを③に代入すると
a(am＋x₁)＋b(bm＋y₁)＋c＝０
a²m＋ax₁＋b²m＋by₁＋c＝０
m(a²＋b²)＋ax₁＋by₁＋c＝０
m(a²＋b²)＝−(ax₁＋by₁＋c)
■PHの長さを求める
次にPHの長さを求めていきます。PHの長さをdとしたとき、
２点間の距離を求める公式より
両辺を２乗して
さらに先ほど求めた①と②より
x₂−x₁＝am ー①
y₂−y₁＝bm ー②
なので、これを代入して
さらに⑤に④を代入します。
右辺を展開すると
次に両辺の平方根を取ります
さらに、d＞０より
公式を求めることができました。
最後の絶対値のところがわからない人は、
絶対値の性質を見直してみましょう。
"｜x｜²＝x² "の性質を用いて計算をすすめています。
