直線に関して対称な点の座標を求める問題

この単元の最初で、点に関して対称な点の座標を求める問題についてみたかと思います。ここでは点に関して対称な点ではなく、直線に関して対称な点の座標の求め方についてみていきまうs。

直線に関して対称な点とは、次の図のような関係のことです。



図のように、直線lに関して点Aと点Bが対称であるための条件は

・ABとlが垂直に交わる
・ABとlが交わる点PがABの中点である

図に今の条件をかき加えると



これらを利用して、次の問題を解いてみましょう。




まず"４x−２y＋３＝０"と点"A(−２、４)"を図示してみます。点Bの座標はわからないので、B(a、b)とします。




ABとlの交点P(p,q)は、ABの中点です。中点ということは、点PはABを１：１に内分する点ということですから、内分点の座標を求める公式より




点Pは直線l上の点でもあるので、この値を"４x−２y＋３＝０"に代入して



２(a−２)−(b＋４)＋３＝０
２a−４−b−４＋３＝０
２a−b＝５　ー①


次に、ABと直線lは垂直に交わることから、２つの直線が垂直に交わるための条件より、２直線の傾きの積が"−１"であることに注目をします。

ABの傾きは



また、lの傾きは"２"なので



２(b−４)＝−(a＋２)
２b−８＝−a−２
a＋２b＝６　ー②



求めた①と②を連立させてaとbの値を求めます。






が求める点の座標となります。