座標上の２点間の距離を求める公式
数直線上の２点間の距離が理解できたら、次は、座標上の２点間の距離を求める方法をみていきます。
座標上の２点間の距離とは、上図のようなA(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)の距離"AB"のことを指します。この長さを求める公式があるので、これも覚えてしまいましょう。
証明
この公式は、
三平方の定理を用いることで証明できます。
ABが、x軸とy軸、どちらとも並行ではないとします。
このとき、図のような△ABCを作ります。(ABは、△ABCの斜辺にあたります)
△ABCにおいてACとBCの長さはそれぞれ、
AB＝|x₂−x₁|
BC＝|y₂−y₁|
とできるので、△ABCに
三平方の定理を用いると、
AB²＝AC²＋BC²＝|x₂−x₁|²＋|y₂−y₁|²
ここで
絶対値の性質より"|a|²＝(a)²"なので、
|x₂−x₁|²＋|y₂−y₁|²＝(x₂−x₁)²＋(y₂−y₁)²
と式を変形できます。
AB＞０より
 ^{2} %2B \left(y _{2} -y _{1} \right) ^{2} } )
となり、公式を求めることができました。
練習問題
次の２点間の距離を求めなさい。
(１) O(０，０)とA(３，２)
(２) A(−３，−１)とB(２，３)
(３) A(−２，−２)とB(−１，−１)
■(１) O(０，０)とA(３，２)
より
 ^{2} %2B \left(2-0\right) ^{2} } = \sqrt{9%2B4} = \sqrt{13} )
■(２) A(−３，−１)とB(２，３)
より
 \right) ^{2} %2B \left(3- \left(-1\right) \right) ^{2} } = \sqrt{25%2B16} = \sqrt{41} )
■(３) A(−２，−２)とB(−１，−１)
より
 \right) ^{2} %2B \left(-1- \left(-2\right) \right) ^{2} } = \sqrt{1%2B1} = \sqrt{2} )
