2つの直線が垂直に交わるための条件
・y=mx+n -①
・y=m'x+n' -②
この2つの直線が、座標上で垂直に交わるための条件をみてみましょう。
まず、①と②をそれぞれ平行移動させて、原点を通る直線にします。
①と②が垂直に交わるということは、それぞれを平行移動させたあとの直線もまた垂直に交わりますね。
平行移動させたあとの2直線は、"y=mx"、"y=m'x"となることを理解しておきましょう。
次に、図のようにx=1の直線をひき、"y=mx"と"y=m'x"との交点を、それぞれA(1,m)、B(1,m')とします。
このとき、△ AOBは直角三角形なので、
三平方の定理をあてはめます。各辺の長さは、
座標上の2点間の距離を求める公式より
AO²=(1-0)²+(m-0)²=1+m²
BO²=(1-0)²+(m'-0)²=1+m'²
AB²=(1-1)²+(m-m')²=(m-m')²
※(m+m')としないように気をつけましょう。
"AB²=AO²+BO²"より
(m-m')²=1+m²+1+m'²
m²-2mm'+m'²=2+m²+m'²
-2mm'=2
mm'=-1
つまり、"
mm'=-1"のとき、"y=mx"と"y=m'x"は垂直に交わることになります。
"y=mx"と"y=m'x"は垂直に交わるということは、それぞれを平行移動した直線である①と②もまた、垂直に交わるということになりますね。
2直線"y=mx+n"と"y=m'x+n'"が垂直に交わる条件は
"mm'=-1"