三角形の重心の座標の求め方とその証明

このテキストを読み始める前に、三角形の重心の性質についてよくわからないという人は、こちらのテキストを読んでおきましょう。



・AGを延長してBCと交わる点M₁は、BCの中点にあたる。
　そしてAG：GM₁＝２：１

・BGを延長してACと交わる点M₂は、ACの中点にあたる。
　そしてBG：GM₂＝２：１

・CGを延長してABと交わる点Mは、ABの中点にあたる。
　そしてCG：GM₃＝２：１



これが三角形の重心の性質でした。
これを座標上で考えると、次のようになります。



座標上の点A(x₁、y₁)、B(x₂、y₂)、C(x₃、y₃)を頂点とする三角形ABCの重心をG(x、y)として図を描いています。


このとき、G(x、y)を求める公式があります。




では、この公式を導いてみましょう。



BCの中点をM(a、b)とします。MはBCを１：１に内分する点なので、内分点の座標を求める公式により







次にAMを直線で結びます。



点Gは△ABCの重心なので、もちろんAM上にあります。そして重心の性質より、"AG：GM＝２：１"に内分する点であることがわかります。こちらも内分点の座標を求める公式により









先ほどの公式に与えられた値を代入するだけですね。





以上から、G(２，１)が答えです。