三角形の重心
このテキストを読み始める前に、三角形の重心の性質についてよくわからないという人は、
こちらのテキストを読んでおきましょう。
・AGを延長してBCと交わる点M₁は、BCの中点にあたる。
そしてAG:GM₁=2:1
・BGを延長してACと交わる点M₂は、ACの中点にあたる。
そしてBG:GM₂=2:1
・CGを延長してABと交わる点Mは、ABの中点にあたる。
そしてCG:GM₃=2:1
これが三角形の重心の性質でした。
これを座標上で考えると、次のようになります。
座標上の点A(x₁、y₁)、B(x₂、y₂)、C(x₃、y₃)を頂点とする三角形ABCの重心をG(x、y)として図を描いています。
このとき、G(x、y)を求める公式があります。
公式の証明
では、この公式を導いてみましょう。
BCの中点をM(a、b)とします。MはBCを1:1に内分する点なので、
内分点の座標を求める公式により
次にAMを直線で結びます。
点Gは△ABCの重心なので、もちろんAM上にあります。そして重心の性質より、"AG:GM=2:1"に内分する点であることがわかります。こちらも
内分点の座標を求める公式により
練習問題
3つの点、A(−3,−2)、B(4,0)、C(5,5)を頂点とする△ABCの重心G(x,y)の座標を求めなさい
先ほどの公式に与えられた値を代入するだけですね。
以上から、
G(2,1)が答えです。