絶対値の性質
ここでは、次の４つの絶対値の性質を証明しています。
xを実数とするとき
・
｜x｜≧０
・
｜x｜≧x
・
｜x｜≧−x
・
｜x｜²＝x²
｜x｜≧０の証明
x≧０、x＜０の２通りにわけて考えます。
■x≧０のとき
x≧０のとき、どんな実数でも
｜x｜＝x
となります。"x≧０"なので、
｜x｜＝x≧０ ・・・①
が成り立ちます。
■x＜０のとき
x＜０のとき、どんな実数でも
｜x｜＝−x
となります。"x＜０"なので、
−xはプラスですね。
このことから、
｜x｜＝−x＞０ ・・・②
が成り立ちます。①と②をあわせて、どんな実数xについても"｜x｜≧０"が成り立つことがわかりました。
｜x｜≧xの証明
x≧０、x＜０の２通りにわけて考えます。
■x≧０のとき
x≧０のとき、どんな実数でも
｜x｜＝x ・・・①
"｜x｜≧x"の等号が成り立っているので、x≧０のとき"｜x｜≧x"が成り立つといえます。
■x＜０のとき
x＜０のとき、どんな実数でも
｜x｜＝−x
となります。x＜０なので、"−x＞０"ですね。このことから、
｜x｜＝−x＞０ ・・・②
①と②をあわせて、どんな実数xについても"｜x｜≧x"が成り立つことがわかりました。
｜x｜≧−xの証明
x≧０、x＜０の２通りにわけて考えます。
■x≧０のとき
x≧０のとき、どんな実数でも
｜x｜＝x
となりますが、
x≧０のときは必ず、"x≧−x"となりますよね。
よって
｜x｜＝x≧−x ・・・①
■x＜０のとき
x＜０のとき、どんな実数でも
｜x｜＝−x ・・・②
となります。"｜x｜≧−x"の等号が成り立っているので、x＜０のとき"｜x｜≧−x"が成り立つといえます。
①と②をあわせて、どんな実数xについても"｜x｜≧−x"が成り立つことがわかりました。
｜x｜²＝x²の証明
x≧０、x＜０の２通りにわけて考えます。
■x≧０のとき
x≧０のとき、どんな実数でも
｜x｜＝x
となるので、両辺を２乗してもその等式は成り立ちます。
｜x｜²＝x²
■x＜０のとき
x＜０のとき、どんな実数でも
｜x｜＝−x
となります。両辺を２乗すると、
｜x｜²＝(−x)²＝x²
以上から、どんな実数xについても"｜x｜²＝x²"が成り立つことがわかりました。
