原点Ｏから直線ｌまでの距離
原点Ｏから直線ｌ：ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ に垂直に垂線を下ろしたとき、その垂線の長さを求めてみましょう。
まずは直線ＯＨの傾きを求める
原点Ｏからの垂線と、直線ｌの交点の座標をＨ（ｐ，ｑ）とします。
このときＯＨとｌとは垂直に交わっているので、ＯＨの傾きとｌの傾きとの積が－１になります。
このことを利用して解答をすすめてみましょう。
直線 ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ は変形すると
となりますので、傾きは
です。
また、ＯＨの方程式を便宜的にｙ＝ｍｘとします。このとき
よって、
となりますのでＯＨは
と表すことができます。
フォーカスを点Ｈに
ここで点Ｈ（ｐ，ｑ）について考えてみましょう。点Ｈは２つの直線、ＯＨとｌとの交点であることからｘ＝ｐ、ｙ＝ｑをそれぞれの方程式に代入して
ａｐ＋ｂｑ＋ｃ＝０ …①
ａｑ－ｂｐ＝０ …② が求まります。
■ｐについて整理
まず、ｐについて整理してみましょう。
①式は ａｐ＝－ｂｑ－ｃ
…③
②式は ｂｐ＝ａｑ
…④
③と④の連立方程式を解いて
…⑤ となります。
ｑについて整理
①より
…⑥
②より
…⑦
⑥と⑦より
…⑧
△ＯＡＨを考える
次に、点Ｈからｘ軸に垂線を下ろし、その交点をＡとします。
△ＯＡＨにおいて∠ＯＡＨ＝９０°より、ピタゴラスの定理が使えます。
ＯＡ＝ｐ、ＡＨ＝ｑより
となりますので、これに先ほどもとめた⑤と⑧を代入します。
 ^{2} %2B \left( \frac{-bc}{a ^{2} %2Bb ^{2} } \right) ^{2} )
ＯＨ＞０より
 ^{2} %2B \left( \frac{-bc}{a ^{2} %2Bb ^{2} } \right) ^{2} })
 ^{2} } } )
 }{ \left(a ^{2} %2Bb ^{2} \right) ^{2} } } )
これが、原点Ｏから直線ｌ：ａｘ＋ｂｘ＋ｃ＝０ の距離を求める公式です。
