三角形の重心の性質
三角形の頂点と、その対辺の中点を結ぶ３つの線は１点で交わり、その点は各中線を２：１に内分する。頂点とその対辺の中点を結ぶ線のことを中線といい、この点のことを三角形の重心という。
このテキストでは、この定理を証明します。
証明
△ＡＢＣにおいて、辺ＡＢの中点をＰ、辺ＡＣの中点をＱとし、ＢＱとＣＰの交点をＧとする。
ＰとＱは、それぞれ辺ＡＢと辺ＡＣの中点であるから、
中点連結定理により、
PQ//BC
BC=2PQ
が成り立つ。よって
BG：GQ=CG：GP=2：1 －①
以上のことから、辺ＡＢと辺ＡＣの中線の交点Ｇは、それぞれの中線を２：１に内分することがわかった。次は、辺ＡＣと辺ＢＣの中線の交点がどうかを確認してく。
続いて次の図のように、辺ＡＣと辺ＢＣの中点をそれぞれＱ、Ｒとし、ＢＱとＡＲの交点をＨとする。
先ほどと同じようにＱとＲは、それぞれ辺ＡＣと辺ＢＣの中点であるから、
中点連結定理により
QR//AB
AB=2QR
が成り立つ。よって
BH：HQ=AH：HR=2:1 －②
以上のことから、辺ＡＣと辺ＢＣの中線の交点Ｈは、それぞれの中線を２：１に内分することがわかった。
①と②から、
ＧとＨは同じ点であることがわかる。（どちらもＢＱを２：１に内分するので）
これらのことから、三角形の３本の中線は１つの点で交わり、その点はそれぞれの中線を２：１に内分することがわかる。
証明おわり。
