座標上の内分点
数直線上の内分点が理解できたら次は、座標上の内分点を求める方法をみていきます。
上図のようなA(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)を結んでできた線分ABを"m：n"に内分する点をP(x、y)としたとき、その座標は次のように表すことができる。
公式の証明
x座標
まずx座標を求める式から導いていきます。
図のように、直角三角形ABCを作ります。また、PからACに垂線をおろし、その交点をQとします。このとき、PQ//BCなので、
"
AP：PB＝AQ：QC＝m：n" ー①
さらに、点A、P、Bからx軸に垂線をおろし、それぞれの交点を「A'、P'、B'」とします。このとき、「AQ＝A'P'、QC＝P'B'」なので、①より
A'P'：P'B'＝m：n
であることがわかりました。
AとA'のx座標、PとP'のx座標、BとB'のx座標は同じであることから、
A'B'をm：nに内分する点P'のx座標は、線分ABをm：nに内分する点Pのx座標と等しくなります。
A'B'をm：nに内分する点P'のx座標は、
数直線上の内分点を求める方法で求められますね。
y座標
続いてy座標を求める式を導いていきます。
今度は点A、P、Bからy軸に垂線をおろし、それぞれの交点を「A"、P"、B"」とします。
x軸のときと同様に考えると、「
A"P"：P"B"＝m：n」となります。
AとA"のy座標、PとP"のy座標、BとB"のy座標は同じであることから、
A"B"をm：nに内分する点P"のy座標は、線分ABをm：nに内分する点Pのy座標と等しくなります。
A"B"をm：nに内分する点P"のy座標は、
数直線上の内分点を求める方法で求められますね。
