ルートが含まれた不等式の証明
ここでは、ルートが含まれた不等式の証明についてみていきます。
まず、２つの数aとbがそれぞれ"a＞０、b＞０"であるときの、a²とb²の大きさについて考えます。
a²ーb²＝(a＋b)(aーb)
これは、すでにご存知の因数分解の公式ですね。
"a＞０、b＞０"より"a＋b＞０"なので
a²ーb²＝(a＋b)
(aーb)
赤文字部分の正負は一致することがわかります。
どういうことかというと
・"(aーb)"がプラスだと、"(a＋b)×プラス"で、"a²ーb²"はプラスとなります。
・"(aーb)"がマイナスだと、"(a＋b)×マイナス"で、"a²ーb²"はマイナスとなります。
・これの逆もしかり。
「
"a²ーb²"がプラスのとき、aーbもプラスとなる」これを式に表すと
a²ーb²＞０ ⇄ aーb＞０
a²＞b²０ ⇄ a＞b
「
"a²ーb²"がマイナスのとき、aーbもマイナスとなる」これを式に表すと
a²ーb²＜０ ⇄ aーb＜０
a²＜b²０ ⇄ a＜b
今求めたことをまとめると、
・a²＞b²０ ⇄ a＞b
・a²＜b²０ ⇄ a＜b
この性質を覚えておきましょう。
ではこの性質を知ったところで何ができるかというと、「ルートを含んだ不等式の証明」ができるようになります。
練習問題
"x＞０、y＞０"のとき、次の不等式が成り立つことを証明しなさい。
何これ？と思うかもしれませんが、
ルートを含む不等式の証明方法はまず、"両辺を２乗して引き算する"ところから始めましょう。
左辺を２乗すると
(√x ＋√y )²＝x＋２√xy ＋y
右辺を２乗すると
(√x+y)²＝x＋y
(※わかりづらいですが、
√の中にx＋yが入っています。)
左辺−右辺＝x＋２√xy ＋y−(x＋y)＝２√xy
設問より"x＞０、y＞０"なので、"２√xy ＞０"となります。
以上から、
(√x ＋√y )²＞(√x+y)²であることがわかりました。
ここまでは、与えられた式の両辺を２乗した不等式を証明したにすぎないので、最後に
２乗をはずした不等式が本当に成り立つかを確認しなければなりません。そこで必要になるのが、冒頭で学んだ性質です。
a²＞b²０ ⇄ a＞bという性質から、
(√x ＋√y )²＞(√x+y)² ⇄ √x ＋√y＞√x+y
が成り立つことがわかります。
これで証明が完了したことになります。
