絶対値を含む不等式

著者名： OKボーイ

絶対値を含む不等式

絶対値は、その性質から
$|a| ^{2} =a ^{2}$
$|a| |b|=|ab|$
$|ab| ^{2} = \left(|a| |b|\right) ^{2}$
$| \frac{a}{b} |= \frac{|a|}{|b|}$
であることがわかっています。これらの特徴を利用して次の問題を解いてみましょう。

$a \neq 0$ 、 $b \neq 0$ 　のとき　 $|a|+|b| \geq |a+b|$ 　となることを証明しなさい。

両辺の平方の差を考えてみます。
$\left(|a|+|b|\right) ^{2} - \left(|a+b|\right) ^{2}$
$=|a| ^{2} +2|a||b|+|b| ^{2} - \left(a+b\right) ^{2}$
$=a^{2}+2|a||b|+b^{2}-a^{2}-2ab-b^{2}$
$=2|ab|-2ab$

※ $\left(|a+b|\right) ^{2} =\left(a+b\right) ^{2}$ 　であることがポイントです。

|ａｂ|は常に正の値をとります。そして－aｂはどんな値を代入しても|ａｂ|より大きくなることはありません。
よって　 $2|ab|-2ab>0$ 　であり
$\left(|a|+|b|\right) ^{2} > \left(|a+b|\right) ^{2}$ 　であることが言えます。

そして、 $|a|+|b| \geq 0$ 、 $|a+b| \geq 0$ 　ですのでこの式は２乗をはずしてもその大小に変わりはありません。
ゆえに $|a|+|b| \geq |a+b|$ 　は成り立ちます。

絶対値の性質をきちんと把握しておくことがこの手の問題は解法への近道です。

・不等式の証明

・相加平均と相乗平均を用いた不等式の証明問題一覧

・平方根を含む不等式

・不等式の証明[不等式の基本性質]

・実数を２乗したときの不等式

証明, 不等式, 絶対値,

『チャート式　数学ⅡＢ』　数研出版

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