絶対値を含む不等式

著者名： OKボーイ

絶対値を含む不等式

絶対値は、その性質から
$|a| ^{2} =a ^{2}$
$|a| |b|=|ab|$
$|ab| ^{2} = \left(|a| |b|\right) ^{2}$
$| \frac{a}{b} |= \frac{|a|}{|b|}$
であることがわかっています。これらの特徴を利用して次の問題を解いてみましょう。

$a \neq 0$ 、 $b \neq 0$ 　のとき　 $|a|+|b| \geq |a+b|$ 　となることを証明しなさい。

両辺の平方の差を考えてみます。
$\left(|a|+|b|\right) ^{2} - \left(|a+b|\right) ^{2}$
$=|a| ^{2} +2|a||b|+|b| ^{2} - \left(a+b\right) ^{2}$
$=a^{2}+2|a||b|+b^{2}-a^{2}-2ab-b^{2}$
$=2|ab|-2ab$

※ $\left(|a+b|\right) ^{2} =\left(a+b\right) ^{2}$ 　であることがポイントです。

|ａｂ|は常に正の値をとります。そして－aｂはどんな値を代入しても|ａｂ|より大きくなることはありません。
よって　 $2|ab|-2ab>0$ 　であり
$\left(|a|+|b|\right) ^{2} > \left(|a+b|\right) ^{2}$ 　であることが言えます。

そして、 $|a|+|b| \geq 0$ 、 $|a+b| \geq 0$ 　ですのでこの式は２乗をはずしてもその大小に変わりはありません。
ゆえに $|a|+|b| \geq |a+b|$ 　は成り立ちます。

絶対値の性質をきちんと把握しておくことがこの手の問題は解法への近道です。

・２乗(平方)の項が入った不等式の証明

・相加平均と相乗平均を用いた不等式の証明問題一覧

・絶対値を含む不等式の証明

・ルートが含まれた不等式の証明

・不等式の証明[不等式の基本性質]

証明, 不等式, 絶対値,

『チャート式　数学ⅡＢ』　数研出版

この科目でよく読まれている関連書籍

このテキストを評価してください。

マイリストに追加

テキストの詳細

閲覧数	14,971 pt
役に立った数	1 pt
う〜ん数	2 pt
マイリスト数	39 pt

知りたいことを検索！

まとめ

このテキストのまとめは存在しません。

デイリーランキング

	『鴻門之会・剣の舞』(沛公旦日従百余騎〜)わかりやすい現代語訳・書き下し文と解説
	枕草子『春はあけぼの』わかりやすい現代語訳と単語の意味
	伊勢物語『東下り・三河』(昔、男ありけり〜)のわかりやすい現代語訳と解説
4	源氏物語『桐壷・光源氏の誕生（いづれの御時にか〜）』の現代語訳・解説
5	更級日記『門出・東路の道の果て』(東路の道の果てよりも〜)わかりやすい現代語訳と解説
6	「意思」と「意志」の違い・使い分け方
7	"＜"、"＞"、"≦"、"≧"の意味と読み方数学の記号
8	『鴻門之会・樊噲、頭髪上指す』(於是張良至軍門、見樊噲〜)わかりやすい現代語訳・書き下し文と解説
9	順列（Ｐ）と組み合わせ（Ｃ）のちがい
10	十訓抄『大江山』わかりやすい現代語訳と解説