絶対値を含む不等式

絶対値は、その性質から


であることがわかっています。これらの特徴を利用して次の問題を解いてみましょう。



両辺の平方の差を考えてみます。



※｜ａ＋b｜²＝（ａ＋b）²　であることがポイントです。

|ａｂ|と−ａｂに着目すると、|ａｂ|は絶対値の性質より、常に正の値をとります。また、−ａｂはどんな値を代入しても|ａｂ|より大きくなることはありません。

例えばａとｂがともに正の数だった場合、−ａｂは負の数となり|ａｂ|より小さくなります。ａとｂのどちらかが正の数でどちらかが負の数だった場合、−ａｂは正の数となりますが|ａｂ|と同じ値をとります。ａとｂが負の数だった場合、−ａｂは負の数となり|ａｂ|より小さくなります。

以上のことから

２|ａｂ|−２ａｂ≧０

つまり

２|ａｂ|≧２ａｂ

ひいては

（｜ａ｜＋｜b｜）²≧｜ａ＋b｜²　…①

が成り立つことがわかります。

さらに、

｜ａ｜＋｜b｜≧０
｜ａ＋b｜≧０

なので、①式は２乗をはずしてもその大小に変わりはありません。
以上のことから、

｜ａ｜＋｜b｜≧｜ａ＋b｜

が成り立つことがわかりました。