絶対値を含む不等式の証明

ここでは、絶対値を含む不等式の証明についてみていきます。





何これ？と思うかもしれませんが、絶対値を含む不等式の証明方法はまず、"両辺を２乗して引き算する"ところから始めましょう。


左辺を２乗すると
　(｜a｜＋｜ｂ｜)²
＝｜a｜²＋２｜a｜｜ｂ｜＋｜ｂ｜²
＝a²＋２｜aｂ｜＋ｂ²

式の展開には次の２つの絶対値の性質を用いました。
・｜a｜²＝a²
･｜a｜｜b｜＝｜ab｜


右辺を２乗すると
　｜a＋ｂ｜²
＝(a＋ｂ)²
＝a²＋２aｂ＋ｂ²

式の展開には次の絶対値の性質を用いました。
・｜a＋ｂ｜²＝(a＋ｂ)²


　左辺－右辺
＝a²＋２｜aｂ｜＋ｂ²－(a²＋２aｂ＋ｂ²)
＝a²＋２｜aｂ｜＋ｂ²－a²－２aｂ－ｂ²
＝２｜aｂ｜－２aｂ
＝２(｜aｂ｜－aｂ)


ここで、次の絶対値の性質について思い出してみましょう。

・｜x｜≧x

ｘをabに置き換えると、"｜ab｜≧ab "であることがわかります。このことから

｜ab｜－ab≧０
２(｜aｂ｜－aｂ)≧０

がわかりますね。よって

　(｜a｜＋｜ｂ｜)²≧｜a＋ｂ｜²

が成り立つことはわかりました。ここまでは、与えられた式の両辺を２乗した不等式を証明したにすぎないので、最後に２乗をはずした不等式が本当に成り立つかを確認しなければなりません。そこで必要になるのが、次の性質です。

a²＞b²０　⇄　a＞b
※なぜこうなるかはこちら

２乗した数の大小関係と、２乗する前の大小関係は変わらないということですね。この性質から、

｜a｜＋｜ｂ｜≧｜a＋ｂ｜

が成り立つことがわかります。



等式が成り立つ場合を調べるには、"２(｜aｂ｜－aｂ)≧０"に注目をします。

２(｜aｂ｜－aｂ)＝０

が成り立つときに、与えられた式の等式が成り立ちます。

｜aｂ｜－aｂ＝０
｜aｂ｜＝aｂ

のときですね。