平方根を含む不等式

著者名： OKボーイ

平方根を含む不等式

ａ＞０、ｂ＞０であるとき、ａ＞ｂであれば　 $a^{2}>b^{2}$ 　であることはご存知のとおりです。
また逆にこの条件下であれば　 $a^{2}>b^{2}$ 　のときａ＞ｂ　であることも然りです。
このことを利用して次の問題をみてみましょう。

ａ＞０、ｂ＞０のとき、ａ＞ｂであれば　 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}$ が成り立つことを証明してみましょう。

ａ＞０、ｂ＞０であるとき、ａ＞ｂであれば　 $a^{2}>b^{2}$ 　であることから、ａ＞ｂの両辺を２乗してもその大小は変わらないことがわかります。このことを利用して、設問の式の両辺を２乗してみます。

左辺は
$\left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right) ^{2} =a+b+2 \sqrt{ab}$
右辺は
$\left( \sqrt{a+b} \right) ^{2} =a+b$

左辺－右辺は
$^{} a+b+2 \sqrt{ab} - \left(a+b\right) =2 \sqrt{ab}$
ａ＞０、ｂ＞０なので　 $2 \sqrt{ab} >0$ 　ですね。

以上のことから　 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}$ 　が成り立つことがわかります。

平方根を含む不等式は、２乗してみるのが定石です

・相加平均と相乗平均の関係とその証明

・不等式の証明[不等式の基本性質]

・絶対値を含む不等式

・不等式の証明

・実数を２乗したときの不等式

証明, 不等式, 平方根,

『教科書　数学Ⅱ』　数研出版

この科目でよく読まれている関連書籍

このテキストを評価してください。

マイリストに追加

テキストの詳細

閲覧数	21,573 pt
役に立った数	2 pt
う〜ん数	10 pt
マイリスト数	26 pt

知りたいことを検索！

まとめ

このテキストのまとめは存在しません。

デイリーランキング

	源氏物語『桐壷・光源氏の誕生（いづれの御時にか〜）』の現代語訳・解説
	源氏物語「若紫・北山の垣間見・若紫との出会い（日もいと長きにつれづれなれば〜）」の現代語訳・解説
	源氏物語『桐壷・光源氏の誕生（前の世にも御契りや〜）』の現代語訳・解説
4	平家物語『木曽の最期（今井四郎、木曽殿、主従二騎になってのたまひけるは～）』現代語訳と解説
5	源氏物語「若紫・北山の垣間見・若紫との出会い（尼君、「いで、あな幼や〜）」の現代語訳と解説
6	源氏物語「若紫・北山の垣間見・若紫との出会い（尼君、髪をかきなでつつ〜）」の現代語訳と解説
7	平家物語『木曽の最期（木曾左馬頭、その日の装束には～）』現代語訳と解説
8	更級日記『門出・東路の道の果て』(東路の道の果てよりも〜)わかりやすい現代語訳と解説
9	"＜"、"＞"、"≦"、"≧"の意味と読み方数学の記号
10	大鏡『花山院の出家』(あはれなることは〜)のわかりやすい現代語訳