平方根を含む不等式

著者名： OKボーイ

平方根を含む不等式

ａ＞０、ｂ＞０であるとき、ａ＞ｂであれば　 $a^{2}>b^{2}$ 　であることはご存知のとおりです。
また逆にこの条件下であれば　 $a^{2}>b^{2}$ 　のときａ＞ｂ　であることも然りです。
このことを利用して次の問題をみてみましょう。

ａ＞０、ｂ＞０のとき、ａ＞ｂであれば　 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}$ が成り立つことを証明してみましょう。

ａ＞０、ｂ＞０であるとき、ａ＞ｂであれば　 $a^{2}>b^{2}$ 　であることから、ａ＞ｂの両辺を２乗してもその大小は変わらないことがわかります。このことを利用して、設問の式の両辺を２乗してみます。

左辺は
$\left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right) ^{2} =a+b+2 \sqrt{ab}$
右辺は
$\left( \sqrt{a+b} \right) ^{2} =a+b$

左辺－右辺は
$^{} a+b+2 \sqrt{ab} - \left(a+b\right) =2 \sqrt{ab}$
ａ＞０、ｂ＞０なので　 $2 \sqrt{ab} >0$ 　ですね。

以上のことから　 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}$ 　が成り立つことがわかります。

平方根を含む不等式は、２乗してみるのが定石です

・相加平均と相乗平均を用いた不等式の証明問題一覧

・絶対値を含む不等式

・絶対値を含む不等式の証明

・不等式の証明[不等式の基本性質]

・２乗(平方)の項が入った不等式の証明

証明, 不等式, 平方根,

『教科書　数学Ⅱ』　数研出版

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