２乗の項が入った不等式の証明
ここでは、２乗の項が含まれた不等式の証明についてみていきます。
問題１
実数xとyがあるとき、"x²＋y²≧２xy"を証明しなさい。
また、等号が成り立つのはどのような場合かも答えなさい。
式に２乗の項が入っていても、不等式を証明するためにやることは同じです。
不等式"A＞B"を証明するためには、
１:Aを変形させてA＞Bとなるか、またはBを変形させてA＞Bとなるかを確認する
２:Aを変形させたものと、Bを変形させたものを比べてA＞Bとなるかを確認する
３:"A−B＞０"、または"B−A＜０"となるかを確認する
この３つのいずれかを行います。
証明の方法がわかったところで、先ほどの問題に取り組んでみましょう。
ここでは、"
左辺−右辺≧０"となるかを確認してみます。
左辺−右辺＝x²＋y²−２xy＝(xーy)²
xとyは実数なので、(x−y)もつねに実数です。そして実数の２乗はつねに０以上なので、
(xーy)²≧０
が成り立つことがわかります。
以上から"左辺−右辺≧０"なので、与えられた不等式"x²＋y²≧２xy"が成り立つことがわかりました。
次に、この不等式の等号が成り立つときを調べるためには、"(xーy)²≧０"に着目をします。
(xーy)²＝０
のとき等号が成り立つので、これを満たすxとyの関係を考えます。
そう、
"x＝y"のときに等号が成り立ちます。
問題２
実数xとyがあるとき、"x²＋y²≧xy"を証明しなさい。
また、等号が成り立つのはどのような場合かも答えなさい。
先ほどは"左辺−右辺"をすると、"左辺−右辺"がうまく因数分解できる問題でした。今度は因数分解がうまくいかない場合をみてみましょう。
"右辺−左辺≧０"となるかで不等式の証明を行います。
右辺−左辺＝x²＋y²−xy
うまく因数分解できませんね。。。こういうときは無理矢理・・・
 ^{2} \right} - \left( \frac{y}{2} \right) ^{2} %2By ^{2} )
 ^{2} %2B \frac{3}{4} y ^{2} )
無理矢理２乗の形を作ってしまいます。
このとき、"(x−y/２)²≧０、３/４ y²≧０"なので
"
(x−y/２)²＋３/４ y²≧０"
となります。以上から"左辺−右辺≧０"なので、与えられた不等式"x²＋y²≧xy"が成り立つことがわかりました。
次に、この不等式の等号が成り立つときを調べるためには、"(x−y/２)²＋３/４ y²≧０"に着目をします。
(x−y/２)²＋３/４ y²＝０
のとき等号が成り立つので、これを満たすxとyの関係を考えます。
・(x−y/２)²＝０
・３/４ y²＝０
この方程式を解くと、
"x＝y＝０"のときに等号が成り立ちます。
