不等式の証明
「"a＋b＋c
＝x＋y＋z"を証明せよ」というのが等式の証明でしたが、今度は「"a＋b＋c
＞x＋y＋z"を証明せよ」という
不等式の証明についてみていきます。
不等式の基本性質
不等式の証明を行う前に、数学Ⅰで学習した
高校数学Ⅰで使う不等式の基本性質について復習しておきましょう。
１：a>b、b>c → a>c
２：a>b → a+c>b+c、a-c>b-c
３：a>b,c>0 → ac>bc、a/c>b/c
４：a>b,c<0 → ac<bc、a/c<b/c
この基本性質から、次のことがいえます。
a>0、b>0 → a+b>0、ab>0
a<0、b<0 → a+b<0、ab<0
a>b ⇄ a-b>0
a<b ⇄ a-b<0
※これらは覚える必要はありませんが、いざというときに導けるようにしておきましょう。例えば「a>0、b>0→a+b>0、ab>0」は、"a＝１、b＝２"と仮定すると簡単に導く事ができると思います。
練習問題１
"m＞１、n＞１"のとき、次の不等式を証明しなさい。
mn＋１＞m＋n
等式の証明のときは、
等号が成り立つかを証明しましたが、不等式の証明では、
不等号が成り立つかを証明します。
この問題の場合、"左辺−右辺＞０"が成り立つかを確認してみましょう。
左辺−右辺より
mn＋１−(m＋n)
＝mn＋１−m−n
＝mn−m−n＋１
＝m(n−１)−(n−１)
＝(m−１)(n−１)
条件より"m＞１、n＞１"なのでこれを変形すると、"m−１＞０、n−１＞０"となります。このことから
(m−１)(n−１)＞０
となるのは明らかです。
(※正の数×正の数は必ず０より大きくなりますからね)
以上より、左辺−右辺＞０となるので不等式が成り立つことが証明されました。
練習問題２
"a＞d、b＞c"のとき、次の不等式が成り立つことを証明しなさい。
ab＋cd＞ac＋bd
これも、「左辺−右辺＞０」となるかで確認してみましょう。
左辺−右辺より
ab＋cd−(ac＋bd)
＝ab＋cd−ac−bd
＝a(b−c)−d(b−c)
＝(a−d)(b−c)
条件の"a＞d、b＞c"を変形すると、"a−d＞０、b−c＞０"となります。このことから、
(a−d)(b−c)＞
となるのは明らかです。
以上より、左辺−右辺＞０となるので不等式が成り立つことが証明されました。
