接弦定理の証明

図１のように円の中に三角形が存在し、かつ点Ｂで円に接する接線を引き、接線上に点Ｄをおきます。このとき、∠ＢＡＣ＝∠ＣＢＤになるのが接弦定理でしたね。
これを証明してみましょう。この証明は、以下の３つのパターンにわけて行います。

・∠ＢＡＣが鋭角の場合
・∠ＢＡＣが直角の場合
・∠ＢＡＣが鈍角の場合




∠ＢＡＣが鋭角のとき、点Ｂから点Ｏを通る直径を引き、円との交点をＰとします。
このとき、∠ＢＡＣ＝∠ＢＰＣですね。　…①
またＢＰは直径なので、△ＢＣＰにおいて∠ＢＣＰ＝９０°となることから、
∠ＢＰＣ＋∠ＰＢＣ＋∠ＢＣＰ＝１８０°　
すなわち、∠ＢＰＣ＋∠ＰＢＣ＝９０°となります。
これを変形して、∠ＢＰＣ＝９０°－∠ＰＢＣ　…②

一方で、∠ＰＢＤ＝９０°より（接線なので）
∠ＰＢＣ＋∠ＣＢＤ＝∠ＰＢＤ＝９０°となります。
これを変形して、∠ＣＢＤ＝９０°－∠ＰＢＣ　…③

②と③より、∠ＢＰＣ＝∠ＣＢＤ　であることがわかります。
①より∠ＢＡＣ＝∠ＢＰＣなので
∠ＢＡＣ＝∠ＣＢＤとなりますね。