方べきの定理の証明

方べきの定理とは、２つの弦の延長線上の交点をＰとするとき
ＰＡ×ＰＢ＝ＰＣ×ＰＤが成り立つことを言います。

この定理を証明してみましょう。

まず、△ＡＣＰと△ＢＤＰにおいて、円に内接する四角形のある角と、向かい合う角の外角の大きさが等しいことから
∠ＣＡＰ＝∠BＤＰ、∠ＡＣＰ＝∠ＤBＰとなります。

つまり△ＡＣＰと△ＢＤＰは３つの角の大きさが同じなので、相似の関係にあることがわかります。
よって以下のことが言えます、
ＡＰ：ＣＰ＝ＤＰ：ＢＰ

ゆえに、ＰＡ×ＰＢ＝ＰＣ×ＰＤ　が成り立つことがわかりますね。