方べきの定理
円周上に異なる４つの点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄをとる。直線ＡＢと直線ＣＤの交点をＰとするとき、
このテキストでは、この定理を証明します。
証明
方べきの定理は、（１）点Ｐが円Ｏの外にある場合と（２）点Ｐが円Ｏの内部にある場合の２パターンにわけて証明を行う。
■（１）点Ｐが円Ｏの外にある場合
四角形ＡＣＤBは
円Ｏに内接する四角形なので、
∠ＰＡＣ=∠ＰＤＢ －①
△ＰＡＣと△ＰＤＢにおいて、∠ＡＰＣは共通。 －②
①、②より△ＰＡＣと△ＰＤＢは
２つの角の大きさがそれぞれ等しい三角形であることがわかる。つまり△ＰＡＣと△ＰＤＢは
相似である。
よって
PA：PD=ＰＣ：PB。つまり
PA・PB=ＰＣ・PD
が成り立つことがわかる。
■（２）点Ｐが円Ｏの内部にある場合
続いて「点Ｐが円Ｏの内部にある場合」を証明していく。
△ＰＡＣと△ＰＤＢにおいて、∠ＰＡＣと∠ＰＤＢは、
同じ弦の円周角なので
∠ＰＡＣ＝∠ＰＤＢ －③
また、
対頂角は等しいことから
∠ＡＰＣ＝∠ＤＰＢ －④
③、④より△ＰＡＣと△ＰＤＢは
２つの角の大きさがそれぞれ等しい三角形であることがわかる。つまり△ＰＡＣと△ＰＤＢは
相似である。
よって
PA：PD=ＰＣ：PBつまり
PA・PB=ＰＣ・PD
が成り立つことがわかる。
以上のことから、方べきの定理が成り立つことが証明できた。
証明おわり。
・方べきの定理の証明－１本が円の接線の場合－
