底の変換公式の証明[対数]

ここでは、対数の分野で使う公式の１つ、底の変換公式の証明をしていきます。底の変換公式とは、



でしたね。




とおきます。このlogを含んだ式を指数の形にしてみましょう。



ここで、
　ー①

とおいて、cを底(c＞０、c≠１)とするAの対数を考えてみましょう。
cは任意の数です。とりあえず自分の好きな数字と思ってもらって構いません。



①より

　ー②

対数の性質公式の証明"logaMⁿ=nlogaM"より、



このことから②式は、



　ー③

ここで、最初に



とおいたことを思い出しましょう。これにより③式は、



となり、公式が成り立つことがわかります。