対数の性質公式の証明[logaMⁿ=n logaM]

著者名：ふぇるまー

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対数の性質

logを含んだ式を計算するために覚えておく公式が３つありました。
ここではそのうちの１つ、

a＞０、a≠１、M＞０のとき
$\log _{a} M ^{n} =n \log _{a} M$

の証明をしてみましょう。

対数の性質の証明

$p=\log _{a} M$

とします。これを指数の形に表すと、

$M=a ^{p}$

この両辺をn乗します。

$M ^{n} =a ^{np}$ 　ー①

わかりやすくするために、①式を
$M ^{n} =A$
$np=x$

として書き直すと、

$A=a ^{x}$ 　ー②

②式を、logを含んだ形に変形します。

$\log _{a} A=x$ 　ー③

$M ^{n} =A$
$np=x$

より③式は、

$\log _{a} M ^{n} =np$ 　ー④

ここで、最初に

$p=\log _{a} M$

とおいたことを思い出しましょう。
④式に代入すると、

$\log _{a} M ^{n} = np = n \log _{a} M$

が成り立つことがわかります。

・対数の性質公式の証明[logaM/N=logaM−logaN]

・対数の性質公式の証明[logaMⁿ=n logaM]

・指数を対数の形に変形する問題[2³=8をlog₂8=3に]

・わかりやすい対数の大小の比較

・数学Ⅱの対数で使う公式・性質の一覧

・底の変換公式の証明[対数]

・対数の性質公式の証明[logaMN=logaM+logaN]

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2013　数学Ⅱ　数研出版

2013　数学Ⅱ　東京書籍

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まとめ

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