わかりやすい対数の大小の比較

著者名：ふぇるまー

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対数の大小比較

$\log _{2} 5$
$\log _{4} 6$
$\log _{8} 12$
の大きさを不等号を用いて表しなさい。

要するに。この３つの数字を大きい順に並べなさいという問題です。この手の問題は、次の２ステップで簡単にとくことができます。

ステップ１

対数の底をそろえる

「"底"」、どこのことを指していたか覚えていますか？

$\log _{a} M$

の"a"の部分ですね。対数の大きさを比較するときは、必ず対数の底をそろえることを覚えておきましょう。

ここでは、底を２にそろえてみます。対数の底をそろえるには、底の変換公式を用います。

$\log _{4} 6= \frac{ \log _{2} 6}{ \log _{2} 4} = \frac{ \log _{2} 6}{2} = \frac{1}{2} \log _{2} 6= \log _{2} 6 ^{ \frac{1}{2} }$

$\log _{8} 12= \frac{ \log _{2} 12}{ \log _{2} 8} = \frac{ \log _{2} 12}{3} = \frac{1}{3} \log _{2} 12= \log _{2} 12 ^{ \frac{1}{3} }$

ステップ２

真数の大きさを比較する

$\log _{a} M$

の"M"の部分を真数といいます。底の大きさがそろったら、今度は真数の大きさを比較しましょう。このとき、注意しなければならないことがあります。

２つの対数
$\log _{a} q$
$\log _{a} p$

において、p＞qとする。このとき、
○a＞１ならば
$\log _{a} p> \log _{a} q$

○０＜a＜１ならば
$\log _{a} p< \log _{a} q$

指数と同じで、"a＞１"と"０＜a＜１"の２通りを考えなければならないことを覚えておきましょう。

今回は、底が２なので、真数の大小がそのまま対数の大小となります。

$\cdot 5$
$\cdot 6 ^{ \frac{1}{2} }$
$\cdot 12 ^{ \frac{1}{3} }$

指数の大小を比較する方法を用いて大小を調べると、

$5 >6 ^{ \frac{1}{2} } >12 ^{ \frac{1}{3} }$

となるので、

$\log _{2} 5 > \log _{4} 6 > \log _{8} 12$

が答えとなります。

・対数の性質公式の証明[logaMN=logaM+logaN]

・指数を対数の形に変形する問題[2³=8をlog₂8=3に]

・対数の性質公式の証明[logaM/N=logaM−logaN]

・対数の性質公式の証明[logaMⁿ=n logaM]

・累乗根とは何かをわかりやすく説明

対数, 対数関数, 対数の大小比較,

2013　数学Ⅱ　東京書籍

2013　数学Ⅱ　数研出版

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