グラフがx軸と接する場合
"ax²＋bx＋c＞０"を変形して、"(x−α)²＞０"とできるタイプの２次不等式の解き方についてみていきます。まずは次のことを覚えましょう。
"ax²＋bx＋c＝０の解がαのみのとき(重解)
・"ax²＋bx＋c＞０"の解は、x＝α意外のすべての実数
・"ax²＋bx＋c＜０"の解は、解なし
※"≧","≦"の場合とは答えがかわってくることに注意が必要です。
実際に問題を解きながら確認してみましょう。
問題 次の２次不等式を解きなさい
(１) x²＋２x＋１＞０
(２) x²＋２x＋１＜０
■(１) x²＋２x＋１＞０
まず、"x²＋２x＋１＝０"として、この２次方程式の解をもとめます。
x²＋２x＋１＝０
(x＋１)²＝０
x＝−１
先ほどの決まり事に従うと、"x²＋２x＋１＞０"の解は、「
x＝−１以外のすべての実数」となりますが、これだとイメージがしにくいので、"y＝x²＋２x＋１"のグラフをかいて確認してみましょう。
"y＝x²＋２x＋１"のグラフは、頂点がx軸上にある(x軸と接する)放物線を描きます。つまり、"x＝−１"のときに、"y＝０"となるわけですね。
このとき、y＞０となるためには、xの値がx＝−１以外である必要があることがグラフから読み取れるはずです。
■(２) x²＋２x＋１＜０
一方で、"x²＋２x＋１＜０"の場合はどうでしょう。
グラフより、"y＝x²＋２x＋１"が０より小さくなる場合はありません。つまり、「解なし」が答えとなります。
