(x−α)²≧0の形をした２次不等式
"ax²＋bx＋c≧０"を変形して、"(x−α)²≧０"とできるタイプの２次不等式の解き方についてみていきます。まずは次のことを覚えましょう。
"ax²＋bx＋c＝０の解がαのみのとき(重解)
・"ax²＋bx＋c≧０"の解は、すべての実数
・"ax²＋bx＋c≦０"の解は、x＝α
※">","<"の場合とは答えがかわってくることに注意が必要です。
実際に問題を解きながら確認してみましょう。
問題 次の２次不等式を解きなさい
(１) x²＋２x＋１≧０
(２) x²＋２x＋１≦０
■(１) x²＋２x＋１≧０
まず、"x²＋２x＋１＝０"として、この２次方程式の解をもとめます。
x²＋２x＋１＝０
(x＋１)²＝０
x＝−１
先ほどの決まり事に従うと、"x²＋２x＋１≧０"の解は、「
すべての実数」となりますが、これだとイメージがしにくいので、"y＝x²＋２x＋１"のグラフをかいて確認してみましょう。
"y＝x²＋２x＋１"のグラフは、頂点がx軸上にある(x軸と接する)放物線を描きます。つまり、"x＝−１"のときに、"y＝０"となるわけですね。
グラフから、
xがどのような値をとっても"y≧０"となることが読み取れるはずです。つまり解は、「すべての実数」となります。
■(４) x²＋２x＋１≦０
続いて、"x²＋２x＋１≦０"の場合です。
グラフより、"y≦０"となるのは、"y＝０"(x＝−１)が成り立つときだけです。つまり解は、「x＝−１」となります。
