２次方程式・判別式[x²+2kx-k+2=0が異なる２つの負の解をもつときのkの範囲を求める問題]

この問題は、"y＝x²＋２kx−k＋２"としたときに「この２次関数のグラフがx軸と異なる２点で交わり、しかもその２点がx軸の負の範囲にある」と言い換えることができます。
ここに気がつけるかがポイントです。

「x軸と異なる２点で交わり、しかもその２点がx軸の負の範囲にある」状態をグラフにしてみましょう。すべての数値がわかっているわけではないので、なんとなくの概念図でＯＫです。


では、グラフが上図のようになるために、どのような条件を満たせばよいのかを考えていきましょう。

(１)　グラフとx軸との交点が２つ
(２)　グラフの軸がx＜０
(３)　グラフとy軸との交点のy座標が「正」

この３つの条件を満たせば、図示した位置にグラフが放物線を描きます。


"y＝x²＋２kx−k＋２"のグラフがx軸と異なる２点で交わるための条件を思い出しましょう。そう、"x²＋２kx−k＋２＝０"としたときの判別式DがD＞０の場合ですね。

D＝b²−４acなので、a＝１、b＝２k、c＝ーk＋２を代入すると

(２k)²−４・１・(−k＋２)＝４k²＋４k−８

D＞０なので、
４k²＋４k−８＞０
k²＋k−２＞０
(k＋２)(k−１)＞０
k＜−２、１＜k　ー①


"y＝x²＋２kx−k＋２"を平方完成すると、y＝(x＋k)²−k²−k＋２

グラフの軸がx＜０ということは、"−k＜０"
整理してk＞０　ー②


グラフをy軸とが接する点のy座標を求める為には、"y＝x²＋２kx−k＋２"にx＝０を代入します。"y＝−k＋２"が求まりますね。

−k＋２＞０
−k＞−２
k＜２　ー③

①、②、③を同時に満たす定数kの範囲を探すと、"１＜k＜２"が求まります。