様々な形の２次不等式
(ｘ－１)(ｘ－４)＜０
ここでは、(ｘ－１)(ｘ－４)＜０の解き方を説明します。
■とりあえず、普通の２次方程式として考えてみる
とりあえず不等号のことは忘れて、２次方程式
(ｘ－１)(ｘ－４)＝０
を解いてみましょう。
答えはｘ＝１、４ になりますね。
■グラフを描いてみる
続いて、２次関数ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)(ｘ－４)のグラフを描いてみましょう。
ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)(ｘ－４)を変形します。
から、グラフは下記のようになります。
この２次関数のグラフは、ｘ＝１、４のときにｘ軸と交わるグラフとなります。
ここで１つ覚えましょう。
(ｘ－１)(ｘ－４)＜０ということは、ｙ＜０であるｘの範囲を求めよ同じ意味。
ｙ＜０となるのは、"１＜ｘ＜４"の範囲です(赤枠で囲まれたところ)
これが一連の解き方なのですが、いちいちグラフを描いていると時間がかかってしょうがありません。そのため、
(ｘ－α)(ｘ－β)＜０のときはα＜ｘ＜β (α＜β)
と覚えましょう。
今回の問題に照らし合わせると
(ｘ－１)(ｘ－４)＜０は１＜ｘ＜４となりますね。
(ｘ－１)(ｘ－４)＞０
次は、先程と不等号の向きが逆の
(ｘ－１)(ｘ－４)＞０
の場合を考えてみましょう。
(ｘ－１)(ｘ－４)＞０ということは、上のグラフにおいて
ｙ＞０になるｘの範囲ということになります。
グラフからもわかるとおり、
ｘ＜１、４＜ｘ のときにｙ＞０が成り立ちますね。
これも先ほどと同じように、毎回こうやってグラフから求めていたのでは時間がかかってしまいます。ですので
(ｘ－α)(ｘ－β)＞０のときはｘ＜α、ｘ＜β (α＜β)
と覚えましょう。
先ほどと不等号の向きが逆です。
