余弦定理の証明

余弦定理とはとある三角形ABCがあるときに成り立つ

の公式のことを言います。
この定理が本当になりたつのか、例をとって証明してみましょう。ここでは、



の式を証明します。
cosＡの値は、Ａの角度が鋭角、直角、鈍角によって変化するのでこの３パターンにわけて考えます。


まずAが鋭角の場合で、次のような三角形があるとします。


辺ＣＢをａ、辺ＣＡをｂ、辺ＡＢをｃとします。
また∠Ａと∠Ｂは共に鋭角で、ＣＨとＡＢは垂直に交わっています。

まず△ＡＣＨで考えたときに
　
すなわち
…①
となります。

続いて、辺ＢＨについて考えます。
　…②

また△ＡＣＨで考えたときに
　
すなわち
…③

これを②に代入して
…④
となります。

ここで三角形ＢＣＨにおいて 三平方の定理(ピタゴラスの定理)を当てはめます。（三平方の定理がわからない人は、各自確認をするようにしておいて下さい。)



三平方の定理より

が成り立ちます。この式に②と④を代入すると
　

となります。これを展開していきましょう。



これを整理していくと
…⑤

となります。
ここでおや！？っと思われた方もいらっしゃるでしょう。


見覚えはありませんか？そうです、三角比の性質で

というものがありましたね。これを⑤に代入します。

すると、
を導くことができます。