余弦定理
余弦定理とはとある三角形ABCがあるときに成り立つ
の公式のことを言います。
この定理が本当になりたつのか、例をとって証明してみましょう。ここでは、
の式を証明します。
cosAの値は、Aの角度が
鋭角、
直角、
鈍角によって変化するのでこの3パターンにわけて考えます。
1:Aが鋭角の場合
まずAが鋭角の場合で、次のような三角形があるとします。
辺CBをa、辺CAをb、辺ABをcとします。
また∠Aと∠Bは共に鋭角で、CHとABは垂直に交わっています。
まず△ACHで考えたときに
すなわち

…①
となります。
続いて、辺BHについて考えます。

…②
また△ACHで考えたときに
すなわち

…③
これを②に代入して

…④
となります。
ここで三角形BCHにおいて
三平方の定理(ピタゴラスの定理)を当てはめます。(
三平方の定理がわからない人は、各自確認をするようにしておいて下さい。)
三平方の定理より
が成り立ちます。この式に②と④を代入すると
となります。これを展開していきましょう。
これを整理していくと
%2Bc^{2}-2bc\cos A)
…⑤
となります。
ここでおや!?っと思われた方もいらっしゃるでしょう。
見覚えはありませんか?そうです、
三角比の性質で
というものがありましたね。これを⑤に代入します。
すると、
を導くことができます。
■次:Aが直角