[公式]正弦定理とその証明

△ABCの外接円の半径をRとしたとき、次の定理が成り立ちます。



正弦(つまりサイン)を使った定理なので、正弦定理といいます。
ではこの正弦定理が本当に成り立つか証明してみましょう。


正弦定理を証明するためには、次の３パターンを考える必要があります。

・∠Aが鋭角の場合
・∠Aが直角の場合
・∠Aが鈍角の場合


∠Aが鋭角の△ABCとその外接円の関係図は、次のようになります。
"BC＝a"、"∠BAC＝∠A"、外接円の半径を"R"としましょう。



この三角形で正弦定理を証明するために、補助線を引きます。
点Bから、外接円の中心を通る直線BD(つまり円の直径)を引きます。



※円の直径というのがミソです。
直径なので、"BD＝2R"となりますね。

このとき、円周角の性質により、
・∠A＝∠BDC　ー①


また△BCDにおいて、BDは円の直径なことから
・BD＝２R　ー②
・∠BCD＝９０°(直径と円周角の関係)

以上のことから、△BCDにサインを適応すると



①を使って整理すると



よって∠AとsinAを用いた正弦定理が成り立つことがわかりました。
∠Bと∠Cでの場合は、今やったことと同じことをやれば証明ができるので省略します。



∠Aが直角の△ABCとその外接円の関係図は、次のようになります。
"BC＝a"、"∠BAC＝∠A"、外接円の半径を"R"としましょう。



∠Aが直角のとき△ABCの辺BCは、△ABCの外接円の直径となるので(直径と円周角関係の逆)

a＝２R　ー①

△ABCにおいて、"∠A＝９０°"なので
sinA＝sin９０°＝１　ー②


①の両辺に"sinA"をかけてみましょう。

a sinA＝２R sinA

②より"sinA＝sin９０°＝１"なので

a＝２R sinA

※左辺のsinAだけ１におきかえました。
これを変形すると、



よって∠AとsinAを用いた正弦定理が成り立つことがわかりました。
∠Bと∠Cでの場合は、今やったことと同じことをやれば証明ができるので省略します。



∠Aが鋭角の△ABCとその外接円の関係図は、次のようになります。
"BC＝a"、"∠BAC＝∠A"、外接円の半径を"R"としましょう。



この三角形で正弦定理を証明するために、補助線を引きます。
点Bから、外接円の中心を通る直線BE(つまり円の直径)を引きます。



このとき、"BE＝２R"といえますね。

四角形ABECは円に内接しているので、外接円をもつ四角形の性質により

∠A＋∠BEC＝１８０°

整理して、∠BEC＝１８０°−∠A　ー①

△BCEにおいて直径と円周角の関係により"∠BCE＝９０°"なので、この三角形にサインを適応すると




①より"∠BEC＝１８０°−∠A"なので、

sin BEC＝sin(１８０°−A)＝sinA
※１８０°−Aの三角比より

これを使って整理すると


よって∠AとsinAを用いた正弦定理が成り立つことがわかりました。
∠Bと∠Cでの場合は、今やったことと同じことをやれば証明ができるので省略します。