対数関数を含む方程式・不等式
ここでは、対数関数を含んだ方程式・不等式を一緒に解いてみましょう。
第Ⅰ問 方程式
■考え方
２の３乗がｘに入ると思ってください。
これは直感的に、
であることがわかりますね。
すなわちｘ＝８です。
第Ⅱ問 不等式
■考え方
・まず、右辺と左辺の形をそろえる
・真数の範囲を考える
・真数同士で計算をする
■解法
まず、右辺と左辺の形をそろえましょう。
ですので
となります。
このとき、対数では
真数が０より大きいという条件がありますので、ｘ＞０は必ず考慮しなければなりません。
そして、あとは真数同士で計算をしましょう。
の真数同士で大きさを比べますので
すなわちｘ＜８ であることがわかりました。
これと先ほどの０＜ｘをあわせて ０＜ｘ＜ｘ８ が正解となります。
最後にもう１問やってみましょう。いいですか、考え方は
右辺と左辺の形をそろえる
真数の範囲を考える
真数同士で計算
の３つの順序です。
これを解いてみましょう。
■まず、両辺の形をそろえます。
%2Blog_{2} \left(x-2\right)=log_{2}2^{2})
■続いて、真数の範囲を考えましょう。
真数は常に正ですので
ｘ＋１＞０ かつ ｘ－２＞０ となります。
これらを満たすｘの範囲は ｘ＞２ ですね。
■あとは真数同士で計算
の左辺は
%2Blog_{2} \left(x-2\right)=log_{2} \left(x%2B1\right)\left(x-2\right))
となります。この式の真数が
の真数と等しいということですので
\left(x-2\right)=2^{2})
この方程式を解くと、ｘ＝３、－２となります。
最初にｘ＞２であるとわかっていますので、ｘ＝３ これが答えです。
