相加平均と相乗平均
２つの数ａとｂにおいて、
を
相加平均といいます。
いわゆる普通の平均値を求めるときの計算方法ですね。
一方でａ＞０、ｂ＞０のとき
のことを
相乗平均といいます。
相加平均と相乗平均の不等式
この相加平均と相加平均の間には次のような定理があります。
(ただし等号が成り立つのはａ＝ｂ)
これを証明してみましょう。
左辺－右辺が０よりも大きくなればこの不等式が成り立つことがわかりますので、左辺－右辺を計算してみましょう。
左辺－右辺
 )
 ^{2} )
 ^{2} )
は必ず正の数ですので
 ^{2} >0)
…①
よって
は成り立ちます。
等号が成り立つのは①の式から
…②のときです。
ａ＞０、ｂ＞０より②の両辺は２乗してもその大きさは変わりませんので
ａ＝ｂのときに等号が成り立ちます。
以上のことから、相加平均と相乗平均の関係
は証明されたことになります。
