相加平均と相乗平均
２つの実数aとbがあるとき、この２つの数の平均を求めてみましょう。
平均といえば「足して２で割る」でしたね。
このことを数学Ⅱ以降では、
相加平均(そうかへいきん)といいます。２つ(
相)を足して(
加)求める
平均です。
実は平均の求め方にはもう１つあります。a>0,b>0のとき、
「かけてその数にルートをつける」方法で求めます。
この方法で求めた平均のことを、
相乗平均(そうじょうへいきん)といいます。２つ(
相)をかけて(
乗)求める
平均です。
相加平均と相乗平均の関係
a>0,b>0のとき、相加平均と相乗平均には、次のような関係があります。
※等号が成り立つのはa＝bのとき
証明
ではこの関係を証明してみましょう。
左辺−右辺をします。
 )
 ^{2} )
２乗は必ず０以上になるので、
 ^{2} \geq 0)
となります。以上から、"左辺−右辺≧０"なので、与えられた不等式が成り立つことがわかりました。
また、この不等式において等号が成り立つのは、
の等号が成り立つときに等しいので、
"√a−√b＝０"
つまり、"√a＝√b"
すなわち
"a＝b"のときに等号が成り立ちます。
