なぜ判別式を用いるのか
２次関数のグラフとｘ軸との交点の数を求めるには判別式Ｄを用いて、
■Ｄ＞０であれば交点の数は２つ
■Ｄ＝０であれば交点の数は１つ
■Ｄ＜０であれば交点の数は０
と決められています。
しかし、なぜ判別式Ｄによって交点の数がわかるのでしょうか。
その証明をしてみたいと思います。
…①という関数について調べてみましょう。
①の関数のグラフが描きやすくするために①の式を
 ^{2} -B)
という形に書きなおしてみましょう。
 %2Bc)
 ^{2} - \frac{b ^{2} }{4a ^{2} } \right) %2Bc)
 ^{2} - \frac{b ^{2} }{4a} %2Bc)
 ^{2} - \frac{b ^{2} -4ac}{4a} )
となり
のグラフは
を頂点とする放射線を描くグラフとなります。
ここまではよろしいでしょうか？
このときフォーカスするのはyの頂点である
です。
上向きの放射線を描くグラフの場合、
| 「ｙ」の位置がｘ軸よりも下にあれば、ｘ軸との交点は２つ |
| 「ｙ」の位置がｘ軸上にあれば、ｘ軸との交点は１つ |
| 「ｙ」の位置がｘ軸よりも上にあれば、ｘ軸との交点はなし |
一方で下向きの放射線を描く場合
| 「ｙ」の位置がｘ軸よりも上にあれば、ｘ軸との交点は２つ |
| 「ｙ」の位置がｘ軸上にあれば、ｘ軸との交点は１つ |
| 「ｙ」の位置がｘ軸よりも下にあれば、ｘ軸との交点はなし |
ということが言えます。
が上向き、すなわちa>0のときを考えてみましょう。
a>0のとき
が「＋」側にあるか「－」側にあるかは、a>0ですので
の値によって左右されます。
このとき
 <0)
であれば
「ｙ」はｘ軸よりも下にくることになります。
すなわち
ですね。
同様にして、
が0であれば、頂点はｘ軸上にくることになるので、交点は１つです。
２次関数においてaの値は０ではないことが決まっていますので、
が０になるためには
である他ありませんね。
そして「ｙ」の値が＋であった場合、このグラフの頂点はｘ軸よりも上に位置していることを意味します。
 >0)
すなわち
ですね。
以上がa>0の場合でした。a<0の場合にも同様にして求めることができます。
是非一度やってみましょう！
