定積分の基本
このテキストから、
定積分について学習していきます。
定積分とは名前の通り、
不定積分と関連の高いものなので、まずは不定積分をきちんと頭にいれてから、この単元に臨んでくださいね。
不定積分と定積分の違い
まずは不定積分と定積分の式を見比べて、どこが違うのかを確認してみましょう。
＜不定積分の式＞
＜定積分の式＞
インテグラルの横に数字があるかないか、これが大きな違いです。
「これだけ？」と思うかもしれませんが、数字があるだけで、計算方法が大きく異なってきます。では、定積分の計算についての説明にうつりましょう。
定積分の公式
まずは、教科書に載っているように、定積分の公式について記してみます。関数"F(x)"を微分したものがf"(x)"だとします。
解き方についてみていきます。
ステップ１
dx)
のf(x)を積分したものを"[ ]"の中に書きます。このとき、
不定積分で学習した"＋C"は考えません。理由はあとで説明します。
\right]_{}^{} )
ステップ２
次に、インテグラルの横についている数字を、そのまま"[ ]"の横にうつします。
\right]_{a}^{b} )
ステップ３
この式は、
x＝bを代入したものからx＝aを代入したものをひいた値を求めなさいを意味しています。ですので、
\right]_{a}^{b} =F(b)-F(a))
なぜこのような公式が成り立つかは、グラフの面積を使って証明していくのですが、ここではおいておきましょう。まずは練習問題をたくさんこなして、この公式がパッと頭に思い浮かべるようにしておきましょう。
練習問題
次の定積分を求めなさい。
３x²を積分したものを"[ ]"の中に、インテグラルの横の数字を"[ ]"の横に書きます。
あとは、x³にx＝３を代入したものから、x³にx＝１を代入したものを引けばOKです。
なぜ＋Cを考えないのか
では、今の問題を使って「なぜ＋Cを考えないのか」について説明します。仮に"＋C"を考慮したとして積分をしてみましょう。
)
とこのように、計算の過程でCは消えてしまうんですね。それだったら始めから考えないほうが計算が楽になっていいよね、というところから+Cは考慮しないというわけです。
