定積分で表された関数の問題
ここでは、次のような問題についてみていきましょう。
を満たす関数f(x)と、定数aの値を求めてみましょう
難しく考えなくても、考えずに関数f(x)と定数aの値をダイレクトに求めるテクニックがあるので紹介しましょう。
f(x)を求める方法
関数f(x)を求めるためには、両辺をxで微分する。
これだけです。早速やってみましょう。
まずは左辺をxで微分します。
を微分すると、
これは、
定積分と微分法の公式により
となります。理由がわからない人は、
定積分と微分法の公式の証明を詳しく読んでみてください。
一方で右辺"x²−2x+1"を微分すると、
2x−2となります。
以上のことから、
f(x)=2x−2
が求まります。
定数aの値を求める
定数aの値を求めるためには、
x=aを与えられた式に代入する。
早速やってみましょう。
x=aを与えられた式に代入します。
このとき左辺は、
定積分の公式より
となります。このことから、
a²−2a+1=0
(aー1)²=0
a=1
が求まります。