定積分で表された関数の問題
ここでは、次のような問題についてみていきましょう。
dt=x ^{2} -2x%2B1)
を満たす関数f(x)と、定数aの値を求めてみましょう
難しく考えなくても、考えずに関数f(x)と定数aの値をダイレクトに求めるテクニックがあるので紹介しましょう。
f(x)を求める方法
関数f(x)を求めるためには、両辺をxで微分する。
これだけです。早速やってみましょう。
まずは左辺をxで微分します。
dt)
を微分すると、
dt)
これは、
定積分と微分法の公式により
dt=f(x))
となります。理由がわからない人は、
定積分と微分法の公式の証明を詳しく読んでみてください。
一方で右辺"x²−２x＋１"を微分すると、
２x−２となります。
以上のことから、
f(x)＝２x−２
が求まります。
定数aの値を求める
定数aの値を求めるためには、
x＝aを与えられた式に代入する。
早速やってみましょう。
x＝aを与えられた式に代入します。
dt=a ^{2} -2a%2B1)
このとき左辺は、
定積分の公式より
dt=0)
となります。このことから、
a²−２a＋１＝０
(aー１)²＝０
a＝１
が求まります。
