累乗根の公式の証明"ⁿ√a ÷ ⁿ√b＝ⁿ√a/b"

著者名：ふぇるまー

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累乗根の公式の証明

ここでは、累乗根の公式の中の次の公式を証明します。

a＞０、b＞０で、nが正の数のときの
"ⁿ√a ÷ ⁿ√b＝ⁿ√a/b"の証明

まず、

$\frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } =x$ 　－①

とおき、両辺をｎ乗します。

$\left(\frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} }\right) ^{n} =x ^{n}$

ここで左辺に、指数法則の"(a/b)ⁿ＝aⁿ/bⁿ"を用います。すると

$\left( \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } \right) ^{n} = \frac{ \left( \sqrt[n]{a} \right) ^{n} }{ \left( \sqrt[n]{b} \right) ^{n} } = \frac{a}{b}$

以上のことから

$x ^{n} = \frac{a}{b}$

条件より、a/b＞０、ｘ＞０なので

$x= \sqrt[n]{ \frac{a}{b} }$ 　－②

①、②より

ⁿ√a ÷ ⁿ√b＝ⁿ√a/b

が成り立ちます。

・累乗根の公式の証明"(ⁿ√a) ×(ⁿ√b)＝ⁿ√ab"

・累乗根の公式の証明"ⁿ√a ÷ ⁿ√b＝ⁿ√a/b"

・累乗根の公式の証明"(ⁿ√a)ᵐ＝ⁿ√aᵐ"

・累乗根の公式の証明"ⁿᴾ√aᵐᴾ＝ⁿ√aᵐ"

・絶対におさえておきましょう！指数の計算法則の復習

・有理数の指数[累乗根の公式の証明]

・応用[指数関数を含んだ方程式の計算]

・わかりやすい指数・累乗根の大小の比較[底をそろえることができない場合]

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2013　数学Ⅱ　数研出版

2013　数学Ⅱ　東京書籍

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