累乗根の公式の証明
ここでは、累乗根の公式の中の次の公式を証明します。
a＞０、b＞０で、nが正の数のときの
"(ⁿ√a) ×(ⁿ√b)＝ⁿ√ab"の証明
まず、
(ⁿ√a) ×(ⁿ√b)＝x －①
とおいて、両辺をn乗します。
(ⁿ√a ⁿ√b)ⁿ＝xⁿ
ここで、左辺の"(ⁿ√a ⁿ√b)ⁿ"に
指数法則の"(ab)ⁿ＝aⁿbⁿ"を用います。すると
(ⁿ√a ⁿ√b)ⁿ＝(ⁿ√a)ⁿ (ⁿ√b)ⁿ＝ab
"(ⁿ√a)"と"(ⁿ√b)"はそれぞれ、n乗するとa、bになる数を表していましたものね。ここがわからない人は、
「累乗根とは何か」を読み返してみましょう。
ここまでの計算から、
ab＝xⁿ
条件より、ab＞０、x＞０なので、
"x＝ⁿ√ab" －②
①、②より
x＝ⁿ√ab＝(ⁿ√a) ×(ⁿ√b)
が成り立ちます。
