円と直線の交わる点の数

円の問題で

という問題があります。可能性としては以下の３つがあります。





交点が１つしかないとき、円と直線は接しているといいます。






「交点の数を求めよ」というややこしい問題ですが、簡単に判別する方法を説明します。

仮に以下のような円と直線があったとします。

円　　　…①
直線　…②

①と②の式を使って、ｙを消去して の形の式をつくります。
すると 　…③

ここでフォーカスを少し変えます。
みなさんは判別式を覚えていますか？
２次方程式の解の数を求めるときの というやつです。


円と直線との交点の数も、この２次方程式の判別式と同じ要領で求めることができます。

すなわち③の式において、
・判別式D>0であれば交点の数は２個
・D=Oならば交点は１個
・D<0ならば交点はなしとなります

改めて覚える必要はありません。２次方程式と同じです。
③の式を使って交点の数を求めるならば



すなわちD>0なので、交点の数は２個となります。