比例式が条件の等式の証明

著者名：ふぇるまー

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比例式とは

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
のとき次の等式を証明しなさい。

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$

"a/b＝c/d"は"a：b＝c：d"と同じ意味ですが、比の値が等しいことを示す式を比例式といいます。ここでは、比例式が条件となっている等式の証明問題についてみていきましょう。

等式の証明

比例式を定数kを用いて表す

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} =k$

とします。kは、pでもmでも何でもいいのですが、kを使っている本が多いのでkとしましょう。(k≠０)すると、

"a/b＝k"より、"a＝bk"　・・・①
"c/d＝k"より、"c＝dk"　・・・②

これを、与えられた式に代入します。

■左辺

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{bk+b}{bk-b} = \frac{b \left(k+1\right) }{b \left(k-1\right) } = \frac{k+1}{k-1}$

■右辺

$\frac{c+bd}{c-d} = \frac{dk+d}{dk-d} = \frac{d \left(k+1\right) }{d \left(k-1\right) } = \frac{k+1}{k-1}$

以上から、左辺＝右辺なので、この等式が成り立つことが証明されました。

比例式は、定数kを用いて考える

・条件付きの等式の証明[恒等式]

・比例式が条件の等式の証明

・連比が条件の等式の証明

・恒等式の計算問題

・「ax²+bx+c=a'x²+b'x+c'が恒等式のときa=a',b=b',c=c'」を使った問題

・条件付きの等式の証明[恒等式]

・恒等式　ax²+bx+c=0が恒等式のときa=b=c=0の証明

・３次方程式の解と係数の関係とその証明

恒等式, 等式の証明, 比例式, 条件付き, 条件付きの等式の証明,

2013　数学Ⅱ　数研出版

2013　数学Ⅱ　東京書籍

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